Абелова награда

Мало читалаца ће рећи нешто о имену Абел. Не, не ради се о несрећном младићу којег је убио његов рођени брат Каин. Мислим на норвешког математичара Ниелса Хенрика Абела (1802–1829) и награду која носи његово име коју је управо доделила (16. марта 2016.) Норвешка академија наука и писма сер Ендрју Џеј Вајлсу. Ово компензује математичаре што их је Алфред Нобел изоставио на ранг листи најважније светске награде за науку.

Иако математичари цене тзв. Фиелдс Медал (званично се сматра највишим ловором у својој области), повезан је са само 15 хиљада. (не милионе, хиљаде!) канадских долара до победника Абел Авардс ставља чек на 6 милиона норвешких круна (око 750 8 евра) у џеп. Нобеловци добијају 865 милиона СЕК, или око КСНУМКС хиљада. евра – мање од тенисера за победу на великом турниру. Постоји неколико вероватних разлога зашто Алфред Нобел није уврстио математичаре међу могуће добитнике награде. Нобелова воља се тицала „проналазака и открића“ која би донела највећу корист човечанству, али вероватно не теоријску, већ практичну. Математика се није сматрала науком која може донети практичну корист човечанству.

Зашто Абел

Ко је био Ниелс Хенрик Абел а како се прославио? Мора да је био бриљантан, јер иако је умро од туберкулозе са само 27 година, имао је стално место у математици. Па, већ у средњој школи нас уче да решавамо једначине; први степен прво, затим квадратни и понекад кубни. Већ пре четири стотине година, италијански научници су могли да се изборе квартична једначиначак и онај који изгледа невин:

а од којих један од елемената

Да, научници су то могли учинити већ у КСНУМКС веку. Није тешко претпоставити да су узете у обзир једначине виших степени. И ништа. За двеста година нико није успео. Ниелс Абел такође није успео. А онда је схватио да ... можда то уопште није могуће. Може се доказати немогућност решавања такве једначине – тачније изражавање решења једноставним аритметичким формулама.

Ово је било прво од 2 хиљаде. године (!) расуђивања овог типа: нешто се не може доказати, нешто се не може учинити. Математика има монопол на такве доказе — практичне науке све више руше баријере. Године 1888, председник америчке Комисије за патенте изјавио је да се „неколико проналазака може очекивати у будућности, јер је скоро све већ измишљено“. Данас нам је тешко и да се насмејемо овоме... Али у математици - једном доказано, изгубљено је. То је немогуће учинити.

Историја дели откриће које сам описао Нильса Абела i Евариста Галоис, обојица су умрли пре XNUMX. године потцењени од савременика. Ниелс Абел је један од ретких норвешких математичара са великом славом (у ствари два, други је Сопхус Лее, 1842-1899 - презимена не звуче скандинавски, али су обојица били рођени Норвежани).

Норвежани нису у добрим односима са Швеђанима - то је, нажалост, уобичајено међу суседним народима. Један од мотива за оснивање Абелове награде од стране Норвежана била је жеља да покажу својим сународницима Алфреду Нобелу: молим вас, нисмо гори.

Трагање за непостојећим уносом маргине

Ево вам Ниелс Хенрик Абел. Сада о добитнику награде, 63-годишњем Енглезу (живи у САД). Његов подвиг 1993. могао је да се упореди само са пењањем на Еверест, пењањем на Месец или нечим сличним. Ко је господине Андрев Вилес? Ако погледате листу његових публикација и разне могуће индексе цитирања, биће он добар научник – има их на хиљаде. Ипак, сматра се једним од највећих математичара. Његово истраживање се односи на теорију бројева и користи односе са алгебарска геометрија Oraz теорија репрезентације.

Прославио се решавањем проблема који је био потпуно безначајан са становишта математике доказ Фермаове последње теореме (ко не зна шта се дешава - подсетимо вас у наставку). Међутим, стварна вредност није било само решење, већ стварање нове методе испитивања која је коришћена за решавање многих других важних проблема.

Немогуће је на овом месту не размишљати о важности одређених ствари, о хијерархији људских достигнућа. Стотине хиљада младих маштају да боље шутирају лопту, десетине хиљада желе да се изложе хималајским ветровима, скачу са гуме на мост, испуштају звукове које називају певањем, трпају другима нездраву храну... или реши непотребну једначину за било кога . Први освајач Монт Евереста, Сир Едвард Хилари, директно је одговорио на питање зашто је тамо ушао: „Зато што постоји, јер постоји Еверест!“ Аутор ових речи цео живот је био математичар, ово је био мој рецепт за живот. Једини исправан! Али хајде да завршимо ову филозофију. Вратимо се здравим путем математике. Чему сва гужва око Фермаове теореме?

Ваљда сви знамо шта су прости бројеви. Сигурно сви разумеју фразу „разложити на основне факторе“, посебно када наш син сатове претвара у делове.

Пјер де Ферма (1601-1665) је био правник из Тулуза, али се бавио и аматерском математиком и то са прилично добрим резултатима, јер је ушао у историју математике као аутор многих теорема теорије и анализе бројева. Своје примедбе и коментаре стављао је на маргине књига које је читао. И тачно – око 1660. године написао је на једној од маргина:

Ево Пиерре де Фермат за вас. Од његовог времена (а да вас подсетим да је у то време у Француској живео храбри гасконски племић д'Артагнан, ау Пољској Андрзеј Кмитсицх ратовао са Бохуславом Радзивилом), стотине, а можда и хиљаде великих и малих математичара безуспешно су покушавали да реконструишу изгубљено расуђивање бриљантног аматера . Иако смо данас сигурни да Фермаов доказ не може бити тачан, нервирало је једноставно питање да ли једначина хⁿ + иⁿ = дⁿ, н> 2 има решења у природним бројевима? може бити тако тешко.

Многи математичари који су дошли на посао 23. јуна 1993. нашли су у свом мејлу (који је тада био свеж, још топао изум) лаконску поруку: „Гласине из Британије: Вајлс доказује Ферма“. Сутрадан је о томе писала дневна штампа, а последње у низу предавања Вајлса окупило је новинаре, телевизију и фоторепортере – баш као на конференцији познатог фудбалера.

Свако ко је читао „Сотону из седмог разреда“ Корнела Макушинског сигурно се сећа шта је урадио господин Иво Гасовски, брат професора историје, чији је систем испитивања ученика открио Адаш Цисовски. Иво Гасовски је управо решавао Фермаову једначину, губећи време, имовину и занемарујући кућу:

На крају је господин Иво схватио да предлози закона о овлашћењима неће обезбедити срећу породице и одустао је. Макушињски није волео науку, али је био у праву у вези са господином Гасовским. Иво Гасовски је направио једну фундаменталну грешку. Није се трудио да постане специјалиста у добром смислу те речи, већ се понашао аматерски. Андрев Вилес је професионалац.

Занимљива је прича о борби против Фермаове последње теореме. Може се једноставно видети да их је довољно решити за експоненте који су прости бројеви. За н = 3 решење је дато 1770. године. Леонард Еулер, за н = 5 – Петер Густав Лежен Дирихле (КСНУМКС) и Адриенне Марие Легендре 1830. године, а при н = 7 – Габриел Ламе 1840. године. У КСНУМКС веку, немачки математичар је посветио већину своје енергије Ферматовом проблему Ернст Едуард Кумер (1810-1893). Иако није постигао коначан успех, доказао је велики број специјалних случајева и открио многа важна својства простих бројева. Велики део модерне алгебре, теоријске аритметике и алгебарске теорије бројева дугује своје порекло Кумеровом раду на Фермаовој теореми.

Приликом решавања Фермаовог проблема методама класичне теорије бројева, они су подељени у два различита случаја сложености: први, када претпоставимо да је производ киз копрост са експонентом н, и други, када је број з подједнако дељив са експонент. У другом случају се знало да нема решења до н = 150, ау првом случају до н = 000 (Лехмер, 6). То је значило да би могући контрапример у сваком случају био немогућ: за добијање би били потребни рачуни од милијарди цифара.

Ево једне старе приче за тебе. Почетком 1988. у свету математике је било познато да Иоицхи Мииаока доказао неку неједнакост, из које је следило следеће: ако је само експонент н довољно велики, онда Фермаова једначина сигурно нема решења. У поређењу са нешто ранијим резултатом Немца Герд Фалтингс (1983) Мијаокин резултат је значио да ако постоје решења, онда (у смислу пропорционалности) постоји само коначан број њих. Дакле, решење Фермаовог проблема се своди на навођење краја многих случајева. Нажалост, колико њих није било познато: методе које је користио Мијаока нису дозвољавале да се процени колико их је већ „у реду“.

Овде је вредно напоменути да се дуги низ година проучавање Фермаове теореме одвијало не у оквиру чисте теорије бројева, већ у оквиру алгебарске геометрије, математичке дисциплине изведене из алгебре и проширења картезијанске аналитичке геометрије, а сада ширећи се готово свуда: од основа математике (теорија топои у логици), преко математичке анализе (кохомолошке методе, функционални снопови), класичне геометрије, до теоријске физике (векторски снопови, твисторски простори, солитони).

Кога почасти није брига

Такође је тешко не бити тужан због судбине математичара, чији је допринос решавању Фермаовог проблема веома значајан. Говорим о АракиелуСурен Јуријевич Аракелов, украјински математичар јерменских корена), који је почетком 80-их, када је био на четвртој години, створио тзв. теорија пресека на аритметичким варијететима. Такве површине су пуне рупа и недовршености, а кривине на њима могу одједном, такорећи, нестати, а затим се поново појавити. Теорија пресека објашњава како израчунати степен пресека таквих кривих. То је био главни алат који су Фалтингс и Мијаока користили у свом раду на Фермаовом проблему.

Једном је Аракелов био позван да представи своје резултате на великом математичком конгресу. Међутим, пошто је био критичан према совјетском систему, одбијена му је дозвола да оде. Убрзо је позван у војску. Пркосно је показао да је против служења војног рока уопште из пацифистичких разлога. Како сам сазнао из прилично сумњивих извора, наводно је послат у психијатријску болницу затвореног типа, где је провео око годину дана. Као што знате, очигледно у политичке сврхе, совјетски психијатри су издвојили посебну врсту шизофреније (на енглеском фром, што значи "трома", на руском спора шизофренија).

Тешко је сто посто рећи како је заиста било, јер моји извори информација нису баш поуздани. Очигледно, након изласка из болнице, Аракелов је провео неколико месеци у манастиру у Загорску. Тренутно живи у Москви са супругом и троје деце. Он не ради математику. Ендру Вајлс је пун почасти и новца.

Са становишта добро храњеног европског друштва, корак је такође несхватљив Григориј Перелман, који је 2002. године решио најпознатији тополошки проблем двадесетог века“,Поинари претпоставкаА онда је одбио све могуће награде. Прво Филдсова медаља, поменута на почетку, коју математичари сматрају еквивалентном Нобеловој награди, а затим и награда од милион долара за решавање једног од седам најважнијих математичких проблема преосталих из двадесетог века. Други су били бољи, мене не занимају почасти, јер ми је математика хоби, имам храну и цигарете“, мање-више је рекао зачуђеном свету.

Успех после више од 300 година

Фермаова велика теорема је свакако била најпознатији и најефикаснији математички проблем. Био је отворен преко три стотине година, формулисан је на врло јасан и читљив начин и теоретски га је било могуће напасти од било кога, а у ери популаризације рачунара било је релативно лако покушати оборити још један рекорд у процени. могућа решења. У историји математике ово питање је кроз своју инспиративну улогу одиграло веома важну „културоформирајућу“ улогу, доприносећи настанку читавих математичких дисциплина. Ово је чудно јер је сам проблем релативно тривијалан и сама информација о недостатку корена у Фермаовој једначини није много допринела општој ризници математичког знања.

Године 1847. Габријел Ламет (1795-1870) одржао је предавање у Француској академији наука најављујући решење Фермаовог проблема. Међутим, одмах је уочена суптилна грешка у расуђивању. Заснован је на неовлашћеној употреби јединствене теореме разлагања. Из школе се сећамо да сваки број има јединствену рашчламбу на просте чиниоце, на пример, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Број 503 нема делиоце (осим самог 1 и 503), тако да се не може даље проширивати.

Својство јединствености дистрибуције поседују позитивни цели бројеви, али међу осталим нумеричким скуповима није неопходно да они буду. На пример, за бројеве знакова

имамо 36 = 2²⋅2³ ,али и

Анализирајући Ламеов доказ, Кумер је успео да докаже ваљаност Фермаове претпоставке за неке експоненте броја п. Назвао их је редовним простим бројевима. Ово је био први важан корак ка потпуном доказу. Око Фермаове теореме израстао је мит. „Или је можда још горе — можда не можете ни да докажете да је то могуће или немогуће решити?“

Али од 80-их, сви су осећали да је циљ близу. Сећам се да је Берлински зид још увек стајао, а ја сам већ слушао предавања о „ускоро, за тренутак“. Па, неко је морао бити први. Ендру Вајлс је своје предавање закључио енглеским флегмом: „Мислим да Ферма то доказује“, и требало је неко време пре него што је препуна публика схватила шта се догодило: на 330 година старом математичком проблему интензивно су радиле стотине пуковских математичара. и безброј аматера.као Иво Гонсовски из романа Макушинског. А Ендру Вајлс је имао част да се рукује са Харалдом В, краљем Норвешке. Можда није обратио пажњу на скромну допуну Абелове награде, око неколико стотина хиљада евра – зашто му треба толики новац?