математика боја
Један читалац ме је оптужио да дајем политичке алузије у својим чланцима из математике. Па, говорио сам само о обуци. Школа је увек била политичка тема, чак и када је требало да буде аполитична у погледу софтвера. Почетком априла, након увођења драстичних ограничења у наш јавни живот, нагло је порасла потражња за учењем на даљину. Део мог чланка је одговор на серију телевизијских предавања за основце. Изазвали су буру у свету наставе математике – били су пуни глупости, као старо буре воде бачено у језеро. Да ме нико не оптужи за политизацију, нећу писати који је то канал био.
Текст је фрагментиран – почињем разговором за малу децу, али прелазим на разговоре за одрасле и назад. Ово није да вам досади. Прво за децу. Ово је мој глас у расправи о томе како (па, како можете) разговарати са децом о „Краљици наука“.
Вежба 1: Погледајте моју прву загонетку. Шта видите на њему?
Где ти живиш? Марк. Мислите ли да сам насумично одабрао боје наших граница, или можете пронаћи разлог зашто је „врх“ плаво-зелен, а „дно“ бела фигура? Али зашто сам написао „изнад“ и „испод“? Уосталом, ови делови света се зову... па, како тачно? Шта је са друга два? Или можда знате зашто су међународне ознаке за четири кардинална правца Н, Е, В, С?
Вежба 2. Погледајте путоказе (1). Које можемо назвати квадратним? Зашто први и трећи имају заобљене углове? Сазнајте који путокази имају троугласти, округли (кружни) и осмоугаони облик. Зашто се један троугласти знак разликује од осталих? Зашто само један осмоугаони знак?
1. Који од ових симбола су квадратни?
Вежба 3: Идите на интернет. Отворите неки претраживач. Откуцајте „квадрат“, затим изаберите „слике“ и... погледајте слике које су тамо. Не сви, већ само десетак. Изаберите онај који вам се највише свиђа. Ви сте изабрали? Сада пробај убеди мезашто овај. Можда ни сами не знате? Или можда знаш?
Вежба 4. Погледај сада моју слагалицу број 2. Видите ли у њему квадрате? Тако је - црвене су изнутра. Они постају све већи. Први, мали, са леве стране има једно око, једно „дугме“.
Одговорићу одмах. Магични квадрат је квадрат у коме је збир бројева хоризонтално, вертикално и дијагонално исти. Хајде да проверимо: вероватно ћете рећи да је други дупло већи, јер има два дугмета са сваке стране... Ох, да ли је стварно дупло већи? Изброј колико дугмади има Четири! Да видимо шта ће бити даље. Трећи је широк и висок три петље. Преброј шавове. Колико их има? 25. Четврта четворка је дуга и широка (или висока) четворка. Четири пута четири је шеснаест. Да, има шеснаест шавова. А пети? На свакој страни има пет шавова, па колико их има укупно? Браво, 25. Кажемо да овај квадрат има површину од КСНУМКС. Али вероватно сте то знали. Дакле, као што је приказано у табели са десне стране.
4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6= 4+5+6=8+5+2=15.
Википедија с правом пише да су магични квадрати бескорисни у науци. Само су занимљиви. Али методе за њихову конструкцију су интересантније од самих квадрата. То је као у туризму: врло често је циљ споредан, важан је пут до њега. Хајде да погледамо како да изградимо квадрат од двадесет пет квадратних метара. Стављамо ону у средину и сећамо се већ заборављене „краљевске игре“, односно шаха. Скочићемо право на ННЕ (север-североисток). Већ „тројка“ пада ван трга. Односимо га на своје место (последњи у другом реду одоздо). Подсећа ме на музичко „свођење на прву октаву“. Овај принцип примењујемо доследно... што је дуже могуће. Заглави у шест. Нема везе, шестицу стављамо испод црвене петице, која је већ унутар нашег квадрата.
2. Зашто је овај квадрат „магичан“?
Вратимо се математици за децу. Сада погледајте врх моје слагалице број 2. Има ли тамо квадрата? Не! Како се зову ове фигуре? Беата, како си? У праву си, правоугаоници. Зашто се тако зову? Зато што имају праве углове? О овоме ћемо мало касније, али за сада да се подсетимо шта је прави угао. Бартек, како би ово објаснио некоме ко не зна? Можда је то тако раван угао. Па нека буде. Ако возимо ауто и скрећемо под правим углом, онда ни превише напред ни назад, већ тачно у страну. Селина, устани и окрени се под правим углом. Лево или десно? Како год хоћеш.
Хајде да причамо и о облицима изнад, односно правоугаоницима. Ко је од њих дебео, мршав, витак, висок, низак, мање дугуљаст, више дугуљаст? Вероватно ћете се сложити да је жути са десне стране дугачак, мршав и висок. Али будите опрезни. Ако лежи на боку, такође ће бити дугачак, али кратак. Да ли бисте то назвали „дебело“?
3. Почињемо да градимо магични квадрат 5 пута 5.
4. Како направити магични квадрат 5 пута 5?
Сада опет два прилога за старије читаоце. Први је 100. Мислим да је 100 сто у било ком словенском језику. Ово је важно за лингвисте. Назив овог броја разликује две групе индоевропских језика, које обухватају све језике на нашем континенту осим финског, мађарског, естонског баскијског и мало познатог бретонског.
У језицима који су се развили током првог таласа миграција, реч 100 се развила у (грчки) и (латински), од којих су настали и француски и немачки (и, наравно, енглески). Зато ове језике називамо центумима.
Наш језик спада у групу централних, или сатемских, језика, јер је после палатализације (омекшавања) прајезик попримио ову лепу и кратку форму стотина. Сто година, сто година, живели...
5. За познаваоце. Магични квадрат састављен од простих бројева.
Други уметак је дужи, али потпуно на месту.
Математичар и
Поинтер ИТМ Заинтересовао сам се из нужде. Подсетићу вас да је ово индикатор који упоређује и оцењује усклађеност тежине одраслог пацијента са теоретски утврђеном нормом. Математичка формула је једноставна: своју тежину (у килограмима) поделите са квадратом висине (у метрима). Претпоставља се да је граница прекомерне тежине количник 25. На овој скали, славни шпански тенисер Рафаел Надал има скоро вишак килограма (185 цм, 85 кг), што даје БМИ од 24,85. Мршав као мршав, његов српски противник Новак Ђоковић има 21,79 и лако пада у нормалу. Аутор ових речи... Нећу рећи колика је ова цифра. Међутим, доња граница исправне тежине за мене (180 цм) је... 61 кг. Момак од 180 килограма и 61 кг вероватно би пао при сваком удару ветра. Верујем да иако је принцип самог индикатора исправан, ово подешавање параметара вероватно су наметнуле фармацеутске компаније (пилуле за дијету).
И сами лекари су свесни да овај индикатор не узима у обзир личне карактеристике пацијента. Додаћу и математичку чињеницу. Старији људи губе тежину. Кичма им је уништена. У младости сам био висок 184 цм, сада имам 180 цм.Ако сам имао 100 кг, онда „тада“, односно са висином од 184 цм, то би дало показатељ од 29,5 (степен И прекомерна тежина), али сада када ће са висином од 180 цм бити 30,9 (прекомерна тежина другог степена). Па ипак, „ја“ се није смањило, само се кичма закривила.
Хајде да проверимо индекс БМИ за „сталност индикатора“. Поента је да није битно да ли су подаци дати у метричком систему (килограми и метри) или, на пример, у енглеским фунтама и стопама. Наравно, бројеви ће бити другачији, као и бројеви који изражавају брзину путовања у миљама и километрима. Али једно може лако трансформисати једно у друго без контрадикторности. Ево једне дигресије. Миље се лако претварају у километре. Али на питање колико је велики фрижидер, мој пријатељ из Канаде је одговорио: „27 кубних стопа“. И буди паметан овде. Још гора ситуација је код утврђивања потрошње горива аутомобила. У САД и Канади то оцењују као "Колико миља по галону ћу добити?" Читаоче, можда можете да процените (израчунате) да ли је 60 мпг много или мало? Још један амерички галон се разликује од канадског (који се назива и царски) галон. Истина је да Канада већ дуги низ година има метричке мере, али промена навика није тако лака.
Али са БМИ је све у реду. Пошто је енглеско стопало 30,48 цм, а фунта 0,454 кг, енглески БМИ резултат (изражен у фунтама тежине по квадратном метру висине) мора се помножити са 0,454 и 0,30482, што је једнако 4,88. Особа висока 180 цм тешка је 220,26 фунти и висока је 5,9 стопа. Обе методе израчунавања БМИ су исте, 30,9.
Сада долази занимљив део (са математичке тачке гледишта). У једној од мојих књига описао сам „индекс заобљености“ — колико блиско округли облици подсећају на круг. Колико – то јест, математички, „који проценат“. Точак је, наравно, 100 посто округао. А други бројеви? Како ово измерити?
Хајде да применимо ову идеју на мерење колико је правоугаоник „сличан“ квадрату. Назовимо ово "мера уништења". Квадрат би требао бити 100% напукао, зар не? Математичар радије каже да је пукотина квадрата једнака 1, а прслина уских правоугаоника је сходно томе мања.
Хајде да применимо нешто попут индекса телесне масе на правоугаонике. Поделите површину квадратом периметра. Колико кошта квадрат са страном? То је само 1/16 рачуна. Да бисмо добили индекс 1, помножимо са 16. Дакле, индекс телесне масе за правоугаонике је
Сада замислите правоугаонике који иду код доктора. "Израчунаћу ваш БМИ", каже доктор. Једно по једно, молим. Ево ваших резултата. Који ћете смршати?
6. Који правоугаоник је за мршављење, а који аноректичан? Израчунај их
Изјава. БМИ третира људе као равна створења! Овај индикатор добро функционише (без узимања у обзир подешавања нивоа ограничења). Међутим, математичари су скептични. Превише је једноставно да би било универзално. Превише једноставним математичким формулама за описивање биолошких и друштвених појава треба поступати са великим опрезом.
Враћамо се ћаскању за млађу децу. Погледајмо поново слагалицу број 2. Сложили смо се, драга децо, тачно је да правоугаоник има само праве углове. Било би чудно да је другачије. Али фигуре испод (плава пирамида), љубичаста „свртница“ и плави точак такође имају само праве углове. Можда су правоугаоне? Не, људи су се сложили да су правоугаоници само они са четири права угла, не више.
Научите да размишљате исправно. погледај:
Ако је нешто правоугаоник, онда има само праве углове. Ово није исто што и:
Ако нешто има само праве углове, то је правоугаоник.
Зашто? Уместо правоугаоника, узмите мачку и пса; уместо правих углова, узмите шапе. Да ли сада разумете? Дефинитивно!
Коментар за одрасле (и не само). У мојој младости постојао је слоган: Размишљање има колосалну будућност! Волео бих да је било тако давно.
Разумети. Важно питање. Да ли је квадрат правоугаоник? Једи! Има четири права угла! Можемо рећи да је квадрат најглаткији правоугаоник. Свака страна је исте дужине.
Наставићемо да правимо прелепе загонетке. Ви тачно знате шта је паран број. Ако је класа постављена у парове, онда ће или неко остати без пара, или... неће остати. Да ли је 12 паран број? Да. Када дванаест људи жели да игра одбојку, лако им је да формирају два тима. Двапут шест је дванаест. А ако исти људи желе да играју пинг понг, могу формирати шест парова. Шест пута два је такође дванаест.
Шта им је заједничко: шибица, свадба, двобој, огледало и новчић? Број два. У мечу се венчавају две екипе, мушкарац и жена (да, мушкарац и жена - он се жени, она се удаје). Два противника се боре у дуелу, у огледалу видимо мало другачијег "" мене. Постоје две стране новчића. Како се зову? Глава или писмо. Имамо орла на пољским новчићима. Да ли познајете некога ко има брата или сестру близанца? Некада су села користила „близанце“ – две спојене посуде, једна за супу, друга за... друго јело.
Или можда разумете речи: дупло, симетрија, инверзија, дуалност, супротност, дубл, дует, тандем, алтернатива, негатив, порицање?
Ако соба има два излаза (или улаз и излаз, шта год желите), да ли бисмо рекли да има „двоја врата“? Не, нешто није у реду. Како је ово тачно? Зашто ово кажемо? А ако додамо још један улаз у собу са двоја врата и тамо ставимо врата, колико ће врата бити? Три? О, не….
„Предњи“ иде руку под руку са „задњим“. Где је "лево", постоји "десно", ако нешто није "горе", онда може бити "испод". Да нема плуса, минус не би био потребан. Број два је диван.
Певају: „Два пса...“ Знате ли мелодију? Ако не, научите.
Колико блокова има у следећој слагалици? Не знам, нећемо ни бројати. Мислим, без бројања, знам да постоји паран број. Зашто? Кацпер, откуд ја ово знам? Ох, већ знаш? Како ви кажете? Да су сви једнаки? За исту ствар!
Глатко. За пар. Да ли вам смета што је розе лево тамније од розе десно?
Којег чак и нема. Сећам се да сам као дете играо фудбал, увек је био проблем ако нас је седам, девет, једанаест, тринаест... Није било могуће поделити се у два једнака тима. Решење је било да смо играли на један гол. Голман није припадао ниједном тиму. Од сваког ударца морао је да се брани.
Изазов... није само за одрасле. Наведите примере возила која имају непаран број точкова (резервни точак у аутомобилу не рачунамо). Једног дана сам приметио да би то могла бити... жичара за Каспрови Виерцх - ауто се котрљао дуж сајле на седам точкова. Али сада не знам како је.
Колико блокова има у четвртој слагалици? Да ли постоји паран или непаран број? Петрек, ово је за тебе! Како ћете то решити? Хоћеш да пребројиш и онда ћеш знати? Па, зар нећете погрешити у овој рачуници? Види да ли је све исто.
У стара времена, непарни бројеви су сматрани најбољим. Данас више волимо паритет. Да ли сте знали да ако некоме дајемо цвеће, треба да га буде непаран број? Наравно, ово се не односи на џиновске букете.
Замислив изазов... можда не само за одрасле. Ко заслужује речи захвалности, цвећа и поштовања од свих нас (и да се тога не плашимо – солидну награду!) за несебичан, исцрпљујући, дуг, напоран и ризичан рад да се не разболимо, и ако то урадимо разболети се, оздравити што је пре могуће?
