обрнути шарм

Много се прича о „лепоти супротности“, и то не само у математици. Запамтите да су супротни бројеви они који се разликују само по предзнаку: плус 7 и минус 7. Збир супротних бројева је нула. Али за нас (тј. математичаре) реципрочни бројеви су занимљивији. Ако је производ бројева једнак 1, онда су ови бројеви инверзни један од другог. Сваки број има своју супротност, сваки број различит од нуле има свој инверз. Инверзност инверза је семе.

Инверзија се дешава где год су две величине повезане једна са другом тако да ако се једна повећава, друга се смањује одговарајућом брзином. „Одговарајући“ значи да се производ ових количина не мења. Сећамо се из школе: ово је обрнута пропорционалност. Ако желим да стигнем до свог одредишта за половину времена (то јест, да преполовим време), морам да удвостручим брзину. Ако смањите запремину затворене посуде са гасом за н пута, онда ће се њен притисак повећати за н пута.

У основном образовању пажљиво разликујемо диференцијална и релативна поређења. "Колико више"? - "Колико пута више?"

Ево неких школских догађаја:

Задатак КСНУМКС. Од две позитивне величине, прва је 5 пута већа од друге и истовремено 5 пута већа од прве. Које су димензије?

Задатак КСНУМКС. Ако је један број већи од другог за 3, а други већи од трећег за 2, колико је онда први број већи од трећег? Ако је први позитиван број два пута већи од другог, а први број три пута трећи, колико је пута први број већи од трећег?

Задатак КСНУМКС. У задатку 2 дозвољени су само природни бројеви. Да ли је могућ договор како је тамо описан?

Задатак КСНУМКС. Од две позитивне величине, прва је 5 пута већа од друге, а друга 5 пута већа од прве. Да ли је могуће?

Концепт "просечно" или "просечно" изгледа веома једноставан. Ако сам возио 55 км у понедељак, 45 км у уторак и 80 км у среду, у просеку сам возио 60 км на бициклу дневно. Свим срцем се слажемо са овим прорачунима, иако су мало чудни јер никада нисам прешао 60 км у једном дану. Лако прихватамо и деонице личности: ако двеста људи посети ресторан у року од шест дана, онда је просечна дневна стопа 33 и трећина људи. Хм!

Проблеми постоје само са средњом величином. Волим бициклизам. Тако сам искористио понуду туристичке агенције „Пођи са нама” - они допремају пртљаг до хотела у који клијент иде бициклом у рекреативне сврхе. У петак сам возио четири сата: прва два брзином од 24 км на сат. Тада сам био толико уморан да сам наредна два радио само 16 на сат. Која је била моја просечна брзина? Наравно (24+16)/2=20км=20км/х.

У суботу је, међутим, пртљаг остављен у хотелу, а ја сам отишао да видим рушевине 24 км удаљеног замка и, видевши их, вратио се. Возио сам сат времена у једном правцу и враћао се спорије, брзином од 16 км на сат. Која је била моја просечна брзина на релацији хотел-замак-хотел? 20 км на сат? Наравно да не. На крају крајева, возио сам укупно 48 км и требало ми је сат („тамо“) и сат и по назад. 48 км за два и по сата, тј. сат 48/2,5=192/10=19,2 км! У овој ситуацији, просечна брзина није аритметичка средина, већ хармоник датих вредности:

а ова двоспратна формула се може прочитати на следећи начин: хармонијска средина позитивних бројева је реципрочна вредност аритметичке средине њихове реципрочне вредности. Инверзност збира инверза појављује се у многим хоровима школских задатака: ако један радник копа сатима, други б сати, онда, радећи заједно, копају на време. базен са водом (један на сат, други на шест сати). Ако један отпорник има Р1, а други Р2, онда имају паралелни отпор. 

Ако један рачунар може да реши проблем за неколико секунди, други рачунар за б секунди, онда када раде заједно...

Зауставити! Ту се аналогија завршава, јер све зависи од брзине мреже: ефикасности веза. Радници такође могу да ометају или помажу једни другима. Ако једна особа може ископати бунар за осам сати, може ли осамдесет радника то учинити за 1/10 сата (или 6 минута)? Ако шест носача достави клавир на први спрат за 6 минута, колико ће једном од њих требати да достави клавир на шездесети спрат? Апсурдност таквих проблема нас тера да се сетимо ограничене применљивости све математике на проблеме „стварног живота“.

О весомом продавце 

Ваге се више не користе. Подсетимо се да је на једну чинију такве ваге стављен тег, на другу вагана роба, а када је тежина била у равнотежи, роба је тежила исто као и тежина. Наравно, оба крака утега морају бити исте дужине, иначе ће вагање бити нетачно.

Ах, тачно. Замислите продавца који има тежину са неједнаким раменима. Међутим, он жели да буде искрен према купцима и вага робу у две серије. Прво, на један тигањ ставља тег, а на други одговарајућу количину робе, тако да вага буде у равнотежи. Затим измери другу „половину“ робе обрнутим редоследом, односно стави тег на другу посуду, а робу на прву. Пошто су руке неједнаке, половине никада нису једнаке. И продавац има чисту савест, а купци хвале његову искреност: „Оно што је уклонио овде, додао је касније“.

Међутим, хајде да погледамо ближе понашање продавца који жели да буде поштен упркос непоузданој тежини. Нека кракови равнотеже имају дужине а и б. Ако је једна посуда оптерећена тегом килограма, а друга са к робом, онда је вага у равнотежи ако је ак = б први пут и бк = а други пут. Дакле, први део производа је једнак б/а килограма, други део је једнак а/б. Добра тежина има а = б, што значи да ће купац добити 2 кг робе. Хајде да видимо шта се дешава када а = б. Тада а – б = 0 и из скраћене формуле множења имамо

Дошли смо до неочекиваног резултата: наизглед поштена метода мерења „просека” у овом случају ради у корист купца, који добија више робе.

Вежба 5. (Важно, никако у математици!). Комарац је тежак 2,5 милиграма, а слон пет тона (ово је сасвим тачан податак). Израчунај аритметичку, геометријску и хармонијску средину маса (тежина) комарца и слона. Проверите прорачуне и видите да ли имају смисла осим аритметичких вежби. Погледајмо друге примере математичких прорачуна који немају смисла у „стварном животу“. Савет: Већ смо погледали један пример у овом чланку. Да ли то значи да је анонимни студент чије мишљење сам нашао на интернету био у праву: „Математика заварава људе бројевима“?

Да, слажем се да у величини математике можете "преварити" људе - свака друга реклама за шампон каже да повећава коврџање за неки проценат. Да ли ћемо тражити још примера корисних свакодневних алата који се могу користити за криминалне активности?

Грамс!

Наслов овог одломка је глагол (прво лице множине), а не именица (именичка множина од хиљадити део килограма). Хармонија претпоставља ред и музику. За старе Грке музика је била грана науке - додуше, ако тако кажемо, садашње значење речи „наука” преносимо у време пре наше ере. Питагора је живео у КСНУМКС веку пре нове ере. Не само да није познавао компјутер, мобилни телефон и е-пошту, већ није знао ни ко су Роберт Левандовски, Мјешко И, Карло Велики и Цицерон. Није знао арапске, па чак ни римске бројеве (ушли су у употребу око 5. века пре нове ере), није знао шта су Пунски ратови... Али је знао музику...

Знао је да су на жичаним инструментима коефицијенти вибрације обрнуто пропорционални дужини вибрирајућих делова жица. Знао је, знао је, само није могао то да изрази на начин на који ми то данас чинимо.

Фреквенције две вибрације жице које чине октаву су у односу 1:2, односно фреквенција више ноте је двоструко већа од фреквенције ниже. Тачан однос вибрација за квинту је 2:3, четврту је 3:4, чиста велика терца је 4:5, мала трећина је 5:6. То су пријатни сугласнички интервали. Затим постоје две неутралне, са односом вибрација 6:7 и 7:8, затим дисонантне - велики тон (8:9), мали тон (9:10). Ови разломци (односи) су слични односима узастопних чланова низа, које математичари (из тог разлога) називају хармонијским низом:

– теоретски бесконачна количина. Однос октавних вибрација може се записати као 2:4 и између њих ставити квинта: 2:3:4, односно октаву делимо на квинту и кварту. Ово се у математици назива хармонијска подела на сегменте:

Пиринач. 1. За музичара: поделити октаву АБ са квинтом АЦ.За математичара: хармонијска сегментација

Шта мислим када говорим (горе) о теоријски бесконачном збиру, као што је хармонијски низ? Испоставља се да такав збир може бити било који велики број, главна ствар је да додајемо довољно дуго. Састојака је све мање, али их је све више. Шта преовладава? Овде улазимо у поље математичке анализе. Испоставило се да су састојци исцрпљени, али не баш брзо. Показаћу да, с обзиром на довољно састојака, могу да направим суму:

произвољно велика. Узмимо за пример н = 1024. Хајде да групишемо речи као што је приказано на слици:

У свакој загради свака реч је већа од претходне, осим, ​​наравно, последње, која је сама себи једнака. У следећим заградама имамо 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 512 компоненти; вредност збира у свакој загради је већа од ½. Све ово је више од 5½. Тачнији прорачун би показао да је овај износ отприлике 7,50918. Не много, али увек, и можете видети да узимајући н било које велико, могу победити било који број. Овај невероватно спор (на пример, само са састојцима прелазимо десет), али бескрајан раст одувек је фасцинирао математичаре.

Путовање у бесконачност са хармонијском серијом

Ево загонетке за прилично озбиљну математику. Имамо неограничену понуду правоугаоних блокова (шта ја кажем, правоугаоних!) са димензијама, рецимо, 4 × 2 × 1. Размотрите систем који се састоји од неколико (на шипак. 2 - четири) блокови постављени тако да је први нагнут за ½ своје дужине, други одозго за ¼ и тако даље, трећи за једну шестину. Па, можда да буде заиста стабилан, нагнимо прву циглу мало мање. За прорачуне ово није важно.

Пиринач. 2. Одређивање тежишта

Такође је лако разумети да пошто фигура састављена од прва два блока (рачунајући одозго) има центар симетрије у тачки Б, онда је Б центар гравитације. Хајде да геометријски одредимо центар гравитације система састављеног од три горња блока. Овде ће бити довољан врло једноставан аргумент. Хајде да ментално поделимо композицију од три блока на два горња и трећу доњу. Овај центар мора да лежи на делу који повезује центре гравитације два дела. У ком тренутку у овој епизоди?

Постоје два начина означавања. У првом ћемо користити запажање да овај центар треба да лежи у средини пирамиде од три блока, односно на правој линији која сече други, средњи блок. У другом методу, схватамо да пошто горња два блока имају укупну масу двоструко већу од једног блока #3 (горе), центар гравитације у овом одсеку мора бити двоструко ближе Б него центру С трећег блока. блокирати. Слично, налазимо следећу тачку: повезујемо пронађени центар три блока са центром С четвртог блока. Центар читавог система је на висини 2 и у тачки која дели сегмент са 1 на 3 (тј. са ¾ његове дужине).

Прорачуни које ћемо извршити мало даље доводе до резултата приказаног на сл. слика 3. Узастопни центри гравитације уклањају се са десне ивице доњег блока:

Дакле, пројекција центра гравитације пирамиде је увек унутар основе. Кула се неће срушити. Сада погледајмо шипак. 3 и за тренутак искористимо пети блок одозго као основу (онај означен светлијом бојом). Горе нагнуто:

па је његова лева ивица 1 даље од десне ивице основе. Ево следећег замаха:

Који је највећи замах? Већ знамо! Нема највећег! Узимајући чак и најмање блокове, можете добити превис од једног километра - нажалост, само математички: цела Земља не би била довољна да изгради толико блокова!

Пиринач. 3. Додајте још блокова

Сада прорачуни које смо оставили изнад. Сва растојања ћемо израчунати "хоризонтално" на к-оси, јер се само о томе ради. Тачка А (тежиште првог блока) је 1/2 од десне ивице. Тачка Б (центар двоблоковног система) налази се 1/4 од десне ивице другог блока. Нека крај другог блока буде почетна тачка (сада ћемо прећи на трећи). На пример, где је центар гравитације једног блока #3? Половина дужине овог блока, стога је уклоњен од наше референтне тачке за 1/2 + 1/4 = 3/4. Где је тачка Ц? У две трећине сегмента између 3/4 и 1/4, односно у тачки до, мењамо почетну тачку на десну ивицу трећег блока. Тежиште система са три блока је сада уклоњено са нове референтне тачке, и тако даље. Тежиште Ц_n торња састављеног од н блокова удаљено је 1/2н од тренутне референтне тачке, која је десна ивица основног блока, односно н-ти блок од врха.

Пошто се низ реципрочних вредности разилази, можемо добити било коју велику варијацију. Да ли би се ово заиста могло остварити? То је као бескрајна кула од цигле - пре или касније ће се срушити под сопственом тежином. У нашој шеми, минималне непрецизности у постављању блокова (и споро повећање делимичних сума редова) значе да нећемо стићи далеко.