Једначине, кодови, шифре, математика и поезија

Михал Шурек о себи каже: „Рођен 1946. Дипломирао сам на Универзитету у Варшави 1968. године и од тада радим на Факултету математике, рачунарства и механике. Научна ужа специјалност: алгебарска геометрија. Недавно сам се бавио векторским сноповима. Шта је векторски сноп? Дакле, вектори морају бити чврсто везани навојем, а већ имамо сноп. Мој пријатељ физичар Ентони Сим ме је натерао да се придружим „Младом техничару“ (он признаје да би требало да прима хонораре од мојих хонорара). Написао сам неколико чланака, а онда сам остао и од 1978. сваког месеца можете читати шта ја мислим о математици. Волим планине и, упркос томе што имам вишак килограма, покушавам да ходам. Верујем да су наставници најважнији. Ја бих политичаре, без обзира на њихове опције, држао на високо безбедној локацији како не би могли да побегну. Хранио сам га једном дневно. Свиђа ми се један пас Бигл из Тулека.

Једначина је нешто попут шифре за математичара. Решавање једначина, суштина математике, је читање шифрованог текста. Теолози су обраћали пажњу на ово још од КСНУМКС века. Јован Павле ИИ, који је познавао математику, више пута је то писао и поменуо у својим проповедима – нажалост, чињенице су избрисане из мог сећања.

У школској науци је представљен Питагора као аутор теореме о одређеној зависности у правоуглом троуглу. Тако је то постало део наше евроцентричне филозофије. Па ипак, Питагора има много више заслуга. Он је својим ученицима наметнуо одговорност да „истражују свет“, из „шта је иза овог брда?“ пре проучавања звезда. Због тога су Европљани „открили” древне цивилизације, а не обрнуто.

Неки читаоци се сећају "Виете паттернси"; Многи старији читаоци памте сам појам из школе и отприлике чињеницу да се питање појавило у квадратним једначинама. Ови обрасци су такорећи „идеолошки“. шифровање информације.

Није ни чудо: један Франсоа Вијет (1540-1603) бавио се криптографијом на двору Хенрија ИВ (први француски краљ из династије Бурбона, 1553-1610) и успео је да разбије шифру коју су Британци користили у рату са Француском. Дакле, играо је исту улогу као и пољски математичари (предвођени Маријаном Рејевским), који су открили тајне немачке машине за шифровање Енигма пре Другог светског рата.

Модна тема

Баш тако. Тема "шифре и шифре" одавно је постала модерна у настави. О томе сам већ писао неколико пута, а за два месеца биће још једна епизода. Овога пута пишем под утиском филма о рату 1920. године, где је победа у великој мери последица кршења кодекса бољшевичких трупа од стране екипе коју је предводио тада млади Вацлав Сиерпински (1882-1969). Не, ово још није Енигма, ово је само увод. Сећам се сцене из филма где Јозеф Пилсудски (које игра Даниил Олбрихски) каже шефу одељења за шифровање:

Дешифроване поруке су носиле важну поруку: трупе Тухачевског неће добити подршку. Можете напасти!

Познавао сам Вацлава Сиерпинског (ако могу тако рећи: био сам млад студент, он је био познати професор), похађао његова предавања и семинаре. Одавао је утисак усахлог научника, расејаног, заузетог својом дисциплином и невиђеног другог света. Предавао је посебно, окренут према табли, не гледајући у публику... али се осећао као изванредан специјалиста. На овај или онај начин, имао је одређене математичке способности - на пример, за решавање проблема. Има и других – научника који су релативно лоши у решавању загонетки, али имају дубоко разумевање целокупне теорије и способни су да покрену читава поља креативности. Требају нам и једно и друго - иако ће први кренути брже.

Вацлав Сиерпински никада није говорио о својим достигнућима 1920. године. Све до 1939. ово је свакако морало бити тајно, а после 1945. они који су се борили са Совјетском Русијом нису уживали симпатије тадашње власти. Моје уверење да су научници потребни као војска је доказано: „за сваки случај“. Ево председника Рузвелта који зове Ајнштајна:

Изванредни руски математичар Игор Арнолд је отворено и тужно рекао да је рат имао велики утицај на развој математике и физике (радар и ГПС такође имају војно порекло). Не улазим у морални аспект употребе атомске бомбе: овде продужење рата за годину дана и погибија неколико милиона сопствених војника – ту је страдање невиних цивила.

***

Бежим у позната подручја – к. Једноставне шифре, засноване на принципу замене слова другим словима или другим бројевима, обично се кваре – ако ухватимо само неколико трагова (на пример, погодимо име краља). Данас помаже и статистичка анализа. Још је горе када је све променљиво. Али најгоре је када нема правилности. Погледајмо шифру описану у Авантурама доброг војника Швејка. Узмимо књигу, на пример, "Потоп". Ево предлога на првој и другој страни.

Желимо да кодирамо реч "ЦАТ". Отворите страницу 1 и суседну другу. Налазимо да се на страни 1 слово К први пут појављује на 59. месту. Педесет девету реч налазимо на супротној, другој страни. Ово је реч "а". Сада слово О. На левој страни је 16. реч, а шеснаеста на десној страни је „г. Слово Т је на 95. месту ако сам тачно избројао, а деведесет пето слово са десне стране је "о". Дакле, КАТ = 1 ЛОРД О.

Шифра која се не може погодити, иако болно спора и за шифровање и... за погађање. Рецимо да желимо да пренесемо слово М. Можемо проверити да ли га кодирамо речју „Воłодијовски“. А после нас већ спремају затворску ћелију. Можемо да рачунамо само на замену! Поред тога, контраобавештајна служба бележи извештаје тајних агената да већ неко време купци вољно купују први том Потоп.

Мој чланак је допринос овој тези: чак и најбизарније идеје математичара могу наћи примену у широко схваћеној пракси. На пример, да ли је могуће замислити мање корисно математичко откриће од теста дељивости... са 47?

Када ће нам затребати у животу? А ако је тако, биће лакше покушати да га раздвојимо. Ако дели, онда је добро, ако не, онда... секундарно је добро (знамо да не дели).

Како поделити и зашто

После овог увода, пређимо на: Да ли ви, читаоци, познајете неке знаке дељивости? Дефинитивно. Парни бројеви се завршавају на 2, 4, 6, 8 или нулу. Број је дељив са три ако је збир његових цифара дељив са три. Слично са знаком дељивости са девет - збир цифара мора бити дељив са девет.

Коме то треба? Лагао бих ако бих убедио Читаоца да је добар за било шта друго осим за... школски задатак. Па и карактеристика дељивости са 4 (шта је ово Читаоче? Можда ћете је искористити када будете желели да сазнате које године пада следећа Олимпијада...). Али шта је са особином дељивости са 47? Ово је већ главобоља. Да ли ћемо икада знати да ли је нешто дељиво са 47? Ако јесте, онда хајде да узмемо калкулатор и видимо.

Ово. У праву си, Читаоче. Ипак, читајте даље. Молимо вас.

Признак делимости на 47: Број 100+ је дељив са 47 ако и само ако је 47 дељив са +8.

Математичар ће се задовољно осмехнути: „Боже, лепо“. Али математика је математика. Докази су важни, а ми обраћамо пажњу на њихову лепоту. Како доказати нашу особину? Врло је једноставно. Одузмите од 100 + број 94 – 47 = 47 (2 -). Добијамо 100+-94+47=6+48=6(+8).

Одузели смо број који је дељив са 47, па ако је 6 (+ 8) дељиво са 47, онда је и 100 +. Али 6 је копросторно са 47, што значи да је 6 (+ 8) дељиво са 47 ако и само ако је једнако + 8. Крај доказа.

Хајде да видимо Неки примери.

8805685 је дељиво са 47? Да ли нас ово заиста интересује, сазнаћемо раније тако што ћемо се једноставно поделити, како су нас учили у основној школи. На овај или онај начин, сада сваки мобилни телефон има калкулатор. Дивидед? Да, приватни 187355.

Па, да видимо шта нам говори знак дељивости. Прекидамо последње две цифре, помножимо их са 8, додамо резултат на „скраћени број“ и урадимо исто са резултујућим бројем.

8805685 → 88056 + 8·85 = 88736 → 887 + 8·36 = 1175 → 11 + 8·75 = 611 → 6 + 8·11 = 94.

Видимо да је 94 дељиво са 47 (количник је 2), што значи да је првобитни број дељив. Велики. Али шта ако наставимо да се забављамо?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Сада морамо престати. Четрдесет седам је дељиво са 47, зар не?

Да ли заиста треба да станемо? Шта ако идемо даље? О мој Боже, свашта може да се деси... Прескочићу детаље. Можда само почетак:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Али, нажалост, изазива зависност као и жвакање семенки...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ах, четрдесет седам. Дешавало се и раније. Шта је следеће? . Исти. Бројеви иду овако:

Ово је заправо занимљиво. Овај број петљи.

Два следећи примери.

Желимо да знамо да ли је 10017627 дељиво са 47. Зашто нам је потребно ово знање? Сетимо се принципа: тешко знању које не помаже зналцу. Знање је увек ту за нешто. Биће за нешто, али сада нећу да објашњавам. Још неколико налога:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

„Променио је свог стрица из секире у штап. Шта имамо од свега овога?

Па, хајде да поновимо поступак. Односно, наставићемо да радимо ово (тј. реч „понављати“).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Зауставимо игру и поделимо као у школи (или на калкулатору): 235 = 5 47. Бинго. Оригинални број 10017627 је дељив са 47.

Браво нам!

Шта ако идемо даље? Верујте ми, можете проверити.

И још једна занимљива чињеница. Желимо да проверимо да ли је 799 дељиво са 47. Користимо функцију дељивости. Прекидамо последње две цифре, помножимо добијени број са 8 и додамо ономе што остаје:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Оно што имамо? Број 799 је дељив са 47 ако и само ако је 799 дељив са 47? Да, све је тачно, али за ово вам не треба математика!!! Маслац је мастан (бар је овај путер мастан).

О листу, пиратима и крају шала!

Још две параболе. Где је најбоље сакрити лист? Одговор је очигледан: у шуми! Али како га касније пронаћи?

Други знамо из књига о гусарима које смо давно читали. Пирати су направили мапу места где су закопали благо. Други су га или украли или победили у борби. Али на мапи није било назначено за које острво се ради. И тражите сами! Наравно, пирати су се носили са овим (мучењем) - шифре о којима говорим такође се могу извући овим методама.

Нема више шала. Реадер! Ми креирамо шифру. Ја сам тајни шпијун и користим „Млади техничар“ као кутију за контакт. Шаљите ми шифроване поруке на следећи начин.

Прво претворите текст у низ бројева користећи код: АБ ЦДЕФГХ ИЈ КЛМН ОП РСТ УВКС И З1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Као што видите, ми не користимо пољске дијакритике (тј. без а, е, ћ, н, о, с) и непољске к, в - али је непољско к остављено за сваки случај. Хајде да укључимо још 25 као размак (размак између речи). Ох, најважнија ствар. Молимо користите код бр.

Знаш шта то значи. Идеш код пријатеља математичара.

Пријатељеве су се очи рашириле од изненађења.

Поносно одговараш:

Математичар вам даје ову особину... и већ знате да шифровање користи функцију неупадљивог изгледа

јер је такав образац описана радња

100 + → + 8.

Дакле, када желите да сазнате шта значи број као што је 77777777 у шифрованој поруци, користите функцију

100 + → + 8

док не добијете број између 1 и 25. Сада погледајте експлицитни алфанумерички код. Да видимо: 77777777 →... Ово вам остављам као задатак. Али да видимо које слово 48 крије? Хајде да читамо:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Затим добијамо редом:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Не назире се крај. Тек после шездесетог (!) пута појавиће се број мањи од 25. Ово је 3, што значи да је 48 слово Ц.

А шта нам ова порука даје? (Желео бих да вас подсетим да користимо кодни број 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 1234567.

Па размислите, шта је ту компликовано, неки рачуни. Почели смо. Почетком 80-их добро познато правило:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Наставља се овако:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Једи! Прво слово поруке је К. Фуј, лако, али колико ће то трајати?

Да видимо и колико муке имамо да се носимо са бројем 1234567. Тек шеснаести пут добијамо број мањи од 25, односно 12. Дакле, 1234567 је Л.

У реду, неки би могли рећи, али ова аритметичка операција је толико једноставна да би програмирање на рачунару одмах разбило код. Да то је истина. Ово су једноставне компјутерске калкулације. Идеја са јавна шифра а такође се ради о отежавању прорачуна за рачунар. Нека ради бар сто година. Хоће ли дешифровати поруку? Није битно. Неће бити важно још дуго. То је (мање-више) оно о чему се ради у јавним шифрама. Могу да се покваре ако радите веома дуго... док вести више не буду релевантне.

 то је увек давало повода за „анти-оружање“. Све је почело мачем и штитом. Тајне службе плаћају даровитим математичарима огромне суме новца да измисле методе шифровања које рачунари (укључујући и оне које ми креирамо) неће моћи да разбију у КСНУМКС веку.

Двадесет други век? Није тако тешко знати да већ има много људи на свету који ће живети у овом дивном веку!

Ох да? Шта ако затражим (мене, тајног официра кога је контактирао „Млади техничар“) за шифровање са кодом број 23? Или 17? једноставно:

Нека никада не морамо да користимо математику у такве сврхе.

***

Наслов чланка о поезији. Зашто би њу било брига?

Као шта? Поезија такође шифрира свет.

Како?

Својим методама – сличним алгебарским.