пет пута у око

Крајем 2020. године одржано је неколико догађаја на универзитетима и школама, одложених са ... марта. Једна од њих је била „прослава“ дана пи. Овом приликом сам 8. децембра одржао предавање на даљину на Универзитету у Шлеској, а овај чланак је резиме предавања. Цела журка је почела у 9.42, а моје предавање је заказано за 10.28. Одакле таква тачност? Једноставно је: 3 пута пи је око 9,42, а π на 2. степен је око 9,88, а сат 9 на 88. степен је 10 на 28. ...

Обичај поштовања овог броја, изражавајући однос обима круга и његовог пречника и понекад се назива Архимедова константа (као и у културама немачког говорног подручја), долази из САД (такође видети: ). 3.14 Март „Амерички стил“ у 22:22, отуда идеја. Пољски еквивалент би могао бити 7. јул јер је разломак 14/КСНУМКС добро приближно π, што је ... Архимед је већ знао. Па, март КСНУМКС је најбоље време за споредне догађаје.

Ове три и четрнаест стотинки једна су од ретких математичких порука које су нам остале из школе за цео живот. Сви знају шта то значи"пет пута у око„. Толико је укорењено у језику да га је тешко другачије и са истом грациозношћу изразити. Када сам у аутомеханичарској радионици питао колико би поправка могла да кошта, механичар је размислио и рекао: „пет пута око осам стотина злота“. Одлучио сам да искористим ситуацију. „Мислите на грубу апроксимацију?“. Мора да је механичар помислио да сам погрешно чуо, па је поновио: "Не знам тачно колико, али пет пута на око би било 800."

.

О чему се ради? Правопис пре Другог светског рата користио је "не" заједно, и ја сам то оставио тамо. Овде се не бавимо претерано помпезном поезијом, мада ми се свиђа идеја да „златна лађа пумпа срећу“. Питајте ученике: Шта ова мисао значи? Али вредност овог текста лежи на другом месту. Број слова у следећим речима су цифре пи екстензије. Хајде да видимо:

3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

1596. холандски научник немачког порекла Лудолф ван Цеулен израчунао вредност пи на 35 децимала. Затим су ове фигуре уклесане на његовом гробу. Посветила је песму броју пи и нашем нобеловцу, Вислава Сзимборска. Шимборска је била фасцинирана непериодичношћу овог броја и чињеницом да ће се са вероватноћом 1 сваки низ цифара, као што је наш телефонски број, појавити тамо. Док је прво својство својствено сваком ирационалном броју (што треба да памтимо још из школе), друго је занимљива математичка чињеница коју је тешко доказати. Можете чак пронаћи и апликације које нуде: дајте ми свој број телефона и рећи ћу вам где се налази у пи.

Где је заобљеност, тамо је и сан. Ако имамо округло језеро, онда је ходање око њега 1,57 пута дуже од купања. Наравно, то не значи да ћемо пливати један и по до два пута спорије него што ћемо проћи. Поделио сам светски рекорд на 100 метара са светским рекордом на 100 метара. Занимљиво, код мушкараца и жена резултат је скоро исти и износи 4,9. Пливамо 5 пута спорије него што трчимо. Веслање је потпуно другачије - али занимљив изазов. Има прилично дугу причу.

Бежећи од Зликовца који га је гонио, лепи и племенити Добри допловио је до језера. Зликовац трчи дуж обале и чека да га она натера да слети. Наравно, он трчи брже од Добрих редова, а ако трчи глатко, Добри је бржи. Дакле, једина шанса за Зло је да извуче Добро са обале – прецизан хитац из револвера није опција, јер. Добро има вредне информације које Зло жели да зна.

Гоод се придржава следеће стратегије. Он плива преко језера, постепено се приближава обали, али увек покушава да буде на супротној страни од Злога, који насумично трчи лево, па десно. Ово је приказано на слици. Нека почетна позиција Зла буде З₁, а Добре је средина језера. Када Зли пређе у З₁, Добро ће пливати до Д.₁када је Лош у З₂, браво за Д₂. Она ће тећи цик-цак, али у складу са правилом: што даље од З. Међутим, како се удаљава од центра језера, Добро се мора кретати у све већим и већим круговима, а у једном тренутку не може придржавати се принципа „бити на другој страни зла“. Затим је из све снаге довеслао до обале, надајући се да Зли неће заобићи језеро. Хоће ли Гоод успети?

Одговор зависи од тога колико брзо Гоод може да весла у односу на вредност Бадових ногу. Претпоставимо да лош човек трчи брзином с пута већом од брзине доброг човека на језеру. Дакле, највећи круг, по коме Добро може да весла да би се одупрео Злу, има полупречник који је један пута мањи од полупречника језера. Дакле, на цртежу који имамо. У тачки В, наш Вид почиње да весла према обали. Ово мора да прође 

 брзином

Треба му времена.

Вицкед јури све своје најбоље ноге. Мора да заврши половину круга, за шта ће му требати секунде или минуте, у зависности од изабраних јединица. Ако је ово више него срећан крај:

Онај добар ће отићи. Једноставни рачуни показују шта би требало да буде. Ако лош човек трчи брже од 4,14 пута од доброг човека, то се не завршава добро. И овде интервенише наш број пи.

Лепо је оно што је округло. Погледајмо фотографију три украсне плоче - имам их по родитељима. Колика је површина криволинијског троугла између њих? Ово је једноставан задатак; одговор је на истој фотографији. Не чуди нас што се појављује у формули – на крају крајева, где је заобљеност, ту је и пи.

Користио сам можда непознату реч:. Ово је назив броја пи у култури немачког говорног подручја, а све то захваљујући Холанђанима (заправо Немцу који је живео у Холандији - националност у то време није била важна), Лудолф од Сеулена... Године 1596. г. израчунао је 35 цифара свог проширења на децималу. Овај рекорд се одржао до 1853. године Виллиам Рутхерфорд бројао 440 места. Рекордер за ручне прорачуне је (вероватно заувек) Виллиам Сханкскоји је после дугогодишњег рада објавио (1873) проширење на 702 цифре. Тек 1946. године установљено је да последњих 180 цифара нису тачне, али је тако и остало. 527 је тачно. Било је занимљиво пронаћи саму бубу. Убрзо након објављивања Шенксовог резултата, посумњали су да „нешто није у реду” – било је сумњиво мало седмица у развоју. Још недоказана хипотеза (децембар 2020.) каже да би се сви бројеви требали појављивати са истом фреквенцијом. Ово је навело Д. Т. Фергусона да ревидира Шенксове прорачуне и пронађе грешку „ученика“!

Касније су људима помогли калкулатори и компјутери. Тренутни (децембар 2020.) рекордер је Тимотхи Муллицан (50 трилиона децимала). Прорачуни су трајали... 303 дана. Хајде да се играмо: колико би простора заузео овај број, одштампан у стандардној књизи. Донедавно је штампана „страна“ текста била 1800 карактера (30 редова са 60 редова). Хајде да смањимо број знакова и маргина странице, нагурамо 5000 знакова по страници и одштампамо књиге од 50 страница. Дакле, КСНУМКС трилион знакова би требало десет милиона књига. Није лоше, зар не?

Поставља се питање која је сврха такве борбе? Чисто економски гледано, зашто би порески обвезник плаћао такву „забаву“ математичара? Одговор није тежак. Први, из Сеулена измислио празнине за прорачуне, затим корисно за логаритамска израчунавања. Да му је речено: молим те, направи бланке, он би одговорио: зашто? Слично наредба:. Као што знате, ово откриће није било сасвим случајно, али ипак нуспроизвод истраживања другачијег типа.

Друго, хајде да прочитамо шта пише Тимотхи Муллицан. Ево репродукције почетка његовог рада. Професор Маликан се бави сајбер-безбедношћу, а пи је тако мали хоби да је управо тестирао свој нови систем сајбер безбедности.

А оно 3,14159 у инжењерству је више него довољно, то је друга ствар. Хајде да урадимо једноставну калкулацију. Јупитер је удаљен 4,774 Тм од Сунца (тераметар = 1012 метара). Да би се израчунао обим таквог круга са таквим полупречником са апсурдном прецизношћу од 1 милиметра, било би довољно узети π = 3,1415926535897932.

Следећа фотографија приказује четвртину круга Лего коцкица. Користио сам 1774 јастучића и било је око 3,08 пи. Није најбоље, али шта очекивати? Круг се не може саставити од квадрата.

Баш тако. Познато је да је број пи круг квадрат – математички проблем који је чекао своје решење више од 2000 година – још од грчких времена. Можете ли користити шестар и равналу да конструишете квадрат чија је површина једнака површини датог круга?

Термин „квадрат круга“ ушао је у говорни језик као симбол нечег немогућег. Притискам тастер да питам, да ли је ово нека врста покушаја да се попуни ров непријатељства који раздваја грађане наше лепе земље? Али већ избегавам ову тему, јер се вероватно осећам само у математици.

И опет иста ствар – решење задатка квадратуре круга није се појавило тако да аутор решења, Цхарлес Линдеманн, 1882. постављен је и коначно успео. Донекле јесте, али то је био резултат напада са широког фронта. Математичари су научили да постоје различите врсте бројева. Не само цели бројеви, рационални (тј. разломци) и ирационални. Немерљивост такође може бити боља или гора. Можда се из школе сећамо да је ирационални број √2 - број који изражава однос дужине дијагонале квадрата и дужине његове странице. Као и сваки ирационални број, он има неодређено продужење. Да подсетим да је периодично проширење својство рационалних бројева, тј. приватни цели бројеви:

Овде се низ бројева 142857 понавља бесконачно. За √2 то се неће десити - то је део ирационалности. Али можеш:

(разломак се наставља заувек). Овде видимо образац, али другачијег типа. Пи чак и није толико уобичајен. Не може се добити решавањем алгебарске једначине – односно оне у којој нема ни квадратног корена, ни логаритма, ни тригонометријских функција. Ово већ показује да није конструибилно – цртање кругова води до квадратних функција, а праве – праве – до једначина првог степена.

Можда сам одступио од главне радње. Тек развој целокупне математике омогућио је повратак исконима - древној лепој математици мислилаца који су нам створили европску културу мишљења, у коју данас неки толико сумњају.

Од многих репрезентативних шаблона, изабрао сам два. Прву од њих повезујемо са презименом Готфрид Вилхелм Лајбниц (КСНУМКС-КСНУМКС).

Али био је познат (модел, не Лајбниц) средњовековном хиндуистичком научнику Мадхави из Сангамаграма (1350-1425). Пренос информација у то време није био сјајан – интернет везе су често квариле, а није било батерија за мобилне телефоне (јер електроника још није била измишљена!). Формула је лепа, али бескорисна за прорачуне. Од стотину састојака добија се "само" 3,15159.

он је мало бољи Вијетова формула (онај из квадратних једначина) и његову формулу је лако програмирати јер је следећи члан у производу квадратни корен претходног плус два.

Знамо да је круг округао. Можемо рећи да је ово 100 одсто рунда. Математичар ће питати: може ли нешто бити не 1 посто округло? Очигледно, ово је оксиморон, фраза која садржи скривену контрадикцију, као што је, на пример, врући лед. Али хајде да покушамо да измеримо колико округли облици могу бити. Испоставило се да је добра мера дата следећом формулом, у којој је С површина, а Л обим фигуре. Хајде да сазнамо да је круг заиста округао, да је сигма 6. Површина круга је обим. Убацујемо ... и видимо шта је исправно. Колико је квадрат округао? Рачунице су исто тако једноставне, нећу их ни наводити. Узмите правилан шестоугао уписан у круг са полупречником. Периметар је очигледно КСНУМКС.

Пол

Шта кажете на обичан шестоугао? Његов обим је 6 и његова површина

Тако да имамо

што је приближно једнако 0,952. Шестоугао је више од 95% "округли".

Занимљив резултат се добија приликом израчунавања заобљености спортског стадиона. Према правилима ИААФ, праве и кривине морају бити дугачке 40 метара, иако су одступања дозвољена. Сећам се да је стадион Бислет у Ослу био узак и дугачак. Пишем „био“ јер сам чак и трчао на њему (за аматера!), Али пре више од КСНУМКС година. Хајде да погледамо:

Ако лук има полупречник 100 метара, полупречник тог лука је метара. Површина травњака је квадратних метара, а површина ван њега (где се налазе одскочне даске) ​​је квадратна метра. Хајде да ово убацимо у формулу:

Дакле, да ли округлост спортског стадиона има икакве везе са једнакостраничним троуглом? Зато што је висина једнакостраничног троугла исти број пута странице. То је случајна случајност бројева, али је лепо. Волим то. А читаоци?

Па, добро је што је округло, мада би неки могли да замере јер је вирус који нас све погађа округао. Барем тако цртају.