Геометријске стазе и шикаре

Док сам писао овај чланак, сетио сам се једне веома старе песме Јана Пјетрзака, коју је певао пре своје сатиричне активности у кабареу Под Егида, признатом у Пољској Народној Републици као сигурносни вентил; могло би се искрено насмејати парадоксима система. У овој песми аутор је препоручио социјалистичко политичко учешће, исмевајући оне који желе да буду аполитични и гасећи радио у новинама. „Боље је да се вратимо у школско читање“, тада је иронично певао КСНУМКС-годишњи Петсхак.

Враћам се школском читању. Поново читам (не први пут) књигу Шчепана Јеленског (1881-1949) „Лилавати“. За мало читалаца, сама реч нешто говори. Ово је име ћерке познатог хиндуистичког математичара познатог као Бхаскара (1114-1185), по имену Акарија, или мудраца који је тим именом насловио своју књигу о алгебри. Лилавати је касније и сама постала позната математичарка и филозофкиња. Према другим изворима, она је сама написала књигу.

Шчепан Јеленски је дао исти наслов својој књизи о математици (прво издање, 1926). Можда је чак и тешко назвати ову књигу математичким делом – више је била скуп загонетки и углавном преписана из француских извора (ауторска права у модерном смислу нису постојала). У сваком случају, дуги низ година то је била једина популарна пољска књига о математици – касније јој је додата друга књига Јеленског, Питагорини слаткиши. Тако да млади људи заинтересовани за математику (а то сам и ја некада био) нису имали шта да бирају...

с друге стране, „Лилавати” се морало знати скоро напамет... Ах, било је времена... Њихова највећа предност је била што сам тада био... тинејџер. Данас, из угла једног добро образованог математичара, Лилаватија гледам на сасвим другачији начин – можда као пењач на кривинама стазе за Шпигласову Пшеленчу. Ни једно ни друго не губе шарм... У свом карактеристичном стилу, Шчепан Јеленски, који у свом личном животу исповеда такозване националне идеје, пише у предговору:

Не дотичући се описа националних карактеристика, рећи ћу да ни после деведесет година речи Јеленског о математици нису изгубиле на актуелности. Математика вас учи да размишљате. Чињеница је. Можемо ли вас научити да размишљате другачије, једноставније и лепше? Можда. Само... још увек не можемо. Објашњавам својим ученицима који не желе да се баве математиком да је ово и тест њихове интелигенције. Ако не можете да научите заиста једноставну теорију математике, онда... можда су ваше менталне способности горе него што бисмо обојица желели...?

Знакови у песку

А ево и прве приче у „Лилавати” – прича коју је описао француски филозоф Жозеф де Местр (1753-1821).

Морнара са разбијеног брода таласи су бацили на празну обалу коју је сматрао ненасељеном. Одједном, у приобалном песку, угледа траг геометријске фигуре нацртане испред некога. Тада је схватио да острво није пусто!

Цитирајући де Местрија, Јеленски пише: геометријска фигурато би био нем израз за несрећног, бродоломца, случајност, али он му је на први поглед показао размере и број, и то је најављивало просветљеног човека. Толико о историји.

Имајте на уму да ће морнар изазвати исту реакцију, на пример, цртањем слова К, ... и било којих других трагова присуства особе. Овде је геометрија идеализована.

Међутим, астроном Камил Фламарион (1847-1925) предложио је да се цивилизације поздрављају из даљине користећи геометрију. У томе је видео једини исправан и могући покушај комуникације. Покажимо таквим Марсовцима Питагорине троуглове... они ће нам одговорити са Талесом, ми ћемо њима Вијети шарама, њихов круг ће се уклопити у троугао, па је почело пријатељство...

Овој идеји су се вратили писци као што су Жил Верн и Станислав Лем. А 1972. године постављене су плочице са геометријским (и не само) шарама на сонди Пионеер, која и даље прелази пространства свемира, сада скоро 140 астрономских јединица од нас (1 И је просечна удаљеност Земље од Земље) . Сунце, односно око 149 милиона км). Плочицу је делимично дизајнирао астроном Френк Дрејк, творац контроверзног правила о броју ванземаљских цивилизација.

Геометрија је невероватна. Сви знамо опште гледиште о пореклу ове науке. Ми (ми људи) смо тек почели да меримо земљу (а касније и земљу) у најкорисније сврхе. Одређивање растојања, цртање правих линија, обележавање правих углова и израчунавање запремина постепено су постали неопходност. Отуда цела ствар геометрија („Мерење земље“), отуда сва математика ...

Међутим, неко време нас је та јасна слика историје науке помутила. Јер да је математика потребна само у оперативне сврхе, не бисмо се бавили доказивањем једноставних теорема. „Видите да би то уопште требало да буде тачно“, рекао би неко након што би проверио да ли је у неколико правоуглих троуглова збир квадрата хипотенузе једнак квадрату хипотенузе. Чему такав формализам?

Пита од шљива мора да буде укусна, компјутерски програм мора да ради, машина мора да ради. Ако сам тридесет пута избројао капацитет бурета и све је у реду, зашто иначе?

У међувремену, старим Грцима је пало на памет да треба пронаћи неке формалне доказе.

Дакле, математика почиње са Талесом (625-547 пне). Претпоставља се да је управо Милет почео да се пита зашто. Паметним људима није довољно што су нешто видели, што су се у нешто уверили. Видели су потребу за доказом, логичним низом аргумената од претпоставке до тезе.

Такође су желели више. Вероватно је Талес први покушао да објасни физичке појаве на натуралистички начин, без божанске интервенције. Европска филозофија је почела са филозофијом природе – са оним што је већ иза физике (отуда назив: метафизика). Али темеље европске онтологије и природне филозофије поставили су питагорејци (Питагора, око 580-око 500. пре Христа).

Основао је своју школу у Кротонеу на југу Апенинског полуострва – данас бисмо је назвали секта. Наука (у садашњем смислу те речи), мистика, религија и фантазија су уско испреплетени. Томас Ман је веома лепо приказао лекције математике у немачкој гимназији у роману Доктор Фаустус. Превели Мариа Куретскаиа и Витолд Вирпсха, овај фрагмент гласи:

У занимљивој књизи Чарлса ван Дорена, Историја знања од праскозорја историје до данас, нашао сам веома занимљиву тачку гледишта. У једном од поглавља аутор описује значај питагорејске школе. И сам наслов поглавља ме је погодио. Пише: „Изум математике: Питагорејци“.

Често расправљамо о томе да ли се математичке теорије откривају (нпр. непознате земље) или измишљају (нпр. машине које раније нису постојале). Неки креативни математичари себе виде као истраживаче, други као проналазаче или дизајнере, ређе контре.

Али аутор ове књиге пише о проналаску математике уопште.

Од претеривања до заблуде

После овог дугог уводног дела, прећи ћу на сам почетак. геометријада опише како претерано ослањање на геометрију може довести научника у заблуду. Јоханес Кеплер је познат у физици и астрономији као откривач три закона кретања небеских тела. Прво, свака планета у Сунчевом систему се креће око Сунца по елиптичној орбити, са Сунцем у једном од својих жаришта. Друго, у правилним интервалима водећи зрак планете, повучен од Сунца, црта једнака поља. Треће, однос квадрата периода окретања планете око Сунца и кубе велике полуосе њене орбите (тј. просечне удаљености од Сунца) је константан за све планете у Сунчевом систему.

Можда је ово био трећи закон – за његово утврђивање било је потребно много података и прорачуна, што је Кеплера подстакло да настави да трага за обрасцима у кретању и положају планета. Историја његовог новог „открића” је веома поучна. Од антике смо се дивили не само правилним полиедрима, већ и аргументима који показују да их у свемиру има само пет. Тродимензионални полиедар се назива регуларним ако су му лица идентични правилни многоуглови и сваки врх има исти број ивица. Илустративно, сваки угао правилног полиедра треба да "изгледа исто". Најпознатији полиедар је коцка. Сви су видели обичан чланак.

Правилан тетраедар је мање познат, а у школи се назива правилном троугластом пирамидом. Изгледа као пирамида. Преостала три правилна полиедра су мање позната. Октаедар се формира када повежемо центре ивица коцке. Додекаедар и икосаедар већ изгледају као лопте. Направљене од меке коже, биле би удобне за копање. Аргумент да не постоје правилни полиедри осим пет Платонових тела је веома добар. Прво, схватамо да ако је тело правилно, онда исти број (нека к) идентичних правилних многоуглова мора конвергирати у сваком врху, нека су то п-углови. Сада треба да запамтимо који је угао у правилном многоуглу. Ако се неко не сећа из школе, подсећамо вас како да пронађете прави образац. Пропутовали смо иза угла. Код сваког темена скрећемо за исти угао а. Када обиђемо полигон и вратимо се на почетну тачку, направили смо п таквих окрета, а укупно смо се окренули за 360 степени.

Али α је комплемент од 180 степени угла који желимо да израчунамо, и стога је

Пронашли смо формулу за угао (математичар би рекао: мере угла) правилног многоугла. Проверимо: у троуглу п = 3 нема а

Овако. Када је п = 4 (квадрат), онда

степени је такође у реду.

Шта добијамо за пентагон? Дакле, шта се дешава када постоји к полигона, а сваки п има исте углове

 степени опадајуће у једном врху? Да је на равни, онда би се формирао угао

степени и не може бити већи од 360 степени – јер се тада полигони преклапају.

Међутим, пошто се ови полигони сусрећу у простору, угао мора бити мањи од пуног угла.

А ево и неједнакости из које све произилази:

Подели са 180, оба дела помножи са п, ред (п-2) (к-2) < 4. Шта следи? Будимо свесни да п и к морају бити природни бројеви и да је п > 2 (зашто? А шта је п?) и такође к > 2. Не постоји много начина да се производ два природна броја учини мањим од 4. Ми навешћу их све у табели 1.

Не постављам цртеже, свако може да види ове фигуре на интернету... На интернету... Нећу одбити лирску дигресију - можда је занимљиво за младе читаоце. 1970. говорио сам на семинару. Тема је била тешка. Имао сам мало времена за припрему, седео сам увече. Главни чланак је био на месту само за читање. Место је било пријатно, са радном атмосфером, па, затварало се у седам. Тада је млада (сада моја супруга) сама понудила да ми препише цео чланак: десетак штампаних страница. Преписао сам (не, не пером, имали смо чак и оловке), предавање је успело. Данас сам покушао да пронађем ову публикацију, која је већ стара. Сећам се само имена аутора... Претраге на интернету су дуго трајале... пуних петнаест минута. Размишљам о томе са осмехом и малим неоправданим жаљењем.

Враћамо се на Кеплера и геометрија. Очигледно, Платон је предвидео постојање пете регуларне форме јер му је недостајало нешто што обједињује, покривајући цео свет. Можда је зато и упутио студента (Тхеајтет) да је потражи. Како је било, тако је било, на основу чега је откривен додекаедар. Овај став Платона називамо пантеизмом. Сви научници, до Њутна, подлегли су јој у већој или мањој мери. Од веома рационалног осамнаестог века, њен утицај је драстично опао, иако не треба да се стидимо чињенице да му сви на овај или онај начин подлегнемо.

У Кеплеровом концепту изградње Сунчевог система све је било тачно, експериментални подаци су се поклопили са теоријом, теорија је била логички кохерентна, веома лепа...али потпуно лажна. У његово време било је познато само шест планета: Меркур, Венера, Земља, Марс, Јупитер и Сатурн. Зашто постоји само шест планета? упита Кеплер. А која правилност одређује њихову удаљеност од Сунца? Претпостављао је да је све повезано, да геометрије и космогоније су уско повезани једни са другима. Из списа старих Грка знао је да постоји само пет правилних полиедара. Видео је да постоји пет празнина између шест орбита. Дакле, можда сваки од ових слободних простора одговара неком правилном полиедру?

После неколико година посматрања и теоријског рада, створио је следећу теорију, уз помоћ које је прилично прецизно израчунао димензије орбита, које је представио у књизи „Мистериум Цосмограпхицум“, објављеној 1596. године: Замислите џиновску сферу, чији је пречник пречник путање Меркура у његовом годишњем кретању око Сунца. Затим замислите да се на овој сфери налази правилан октаедар, на њој сфера, на њој икосаедар, на њој опет сфера, на њој додекаедар, на њој друга сфера, на њој тетраедар, па опет сфера, коцка и, коначно, на овој коцки је описана лопта.

Кеплер је закључио да су пречници ових узастопних сфера пречници орбита других планета: Меркура, Венере, Земље, Марса, Јупитера и Сатурна. Чинило се да је теорија веома тачна. Нажалост, ово се поклопило са експерименталним подацима. А има ли бољег доказа о исправности математичке теорије од њене кореспонденције са експерименталним подацима или подацима посматрања, посебно „узетим са неба“? Сумирам ове прорачуне у табели 2. Па шта је Кеплер урадио? Покушавао сам и покушавао све док није успело, односно када су се конфигурација (редослед сфера) и резултирајући прорачуни поклопили са подацима посматрања. Ево модерних Кеплерових цифара и прорачуна:

Може се подлећи фасцинацији теорије и веровати да су мерења на небу нетачна, а не прорачуни направљени у тишини радионице. Нажалост, данас знамо да постоји најмање девет планета и да су све случајности резултата само случајност. Штета. Било је тако лепо...