Обојени квадрати и помрачења Сунца

У чланку су описани моји часови за средњошколце – стипендисте Националног дечјег фонда. Фондација тражи посебно даровиту децу и омладину (од XNUMX. разреда основне школе до средње школе) и нуди „стипендије“ одабраним ученицима. Међутим, они се уопште не састоје у подизању готовине, већ у свеобухватној бризи за развој талента, по правилу, током много година. За разлику од многих других пројеката овог типа, штићеници Фондације озбиљно схватају познати научници, културњаци, истакнути хуманисти и други мудри људи, као и поједини политичари.

Делатност Фондације обухвата све дисциплине које су основни школски предмети, осим спорта, укључујући и ликовну. Фонд је настао 1983. године као противотров тадашњој стварности. Свако може да се пријави у фонд (обично преко школе, најбоље пре краја школске године), али, наравно, постоји одређено сито, одређена квалификациона процедура.

Као што сам већ поменуо, чланак је заснован на мојим мајсторским курсевима, конкретно у Гдињи, у марту 2016. године, у 24. нижој школи ИИИ гимназије. морнарица. Већ дуги низ година ове семинаре под покровитељством Фондације организује Војциецх Тхомалцзик, учитељ изузетне харизме и високог интелектуалног нивоа. Године 2008. ушао је међу десет најбољих у Пољској, који су добили звање професора педагогије (предвиђено законом пре много година). Има мало претеривања у изјави: „Образовање је осовина света“.

и месец су увек фасцинантне – тада можете осетити да живимо на малој планети у огромном простору, где је све у покрету, мерено центиметрима и секундама. Чак ме мало плаши, такође и временска перспектива. Сазнајемо да ће следеће потпуно помрачење, видљиво са подручја данашње Варшаве, бити у ... 2681. Питам се ко ће то видети? Привидне величине Сунца и Месеца на нашем небу су скоро исте – зато су помрачења тако кратка и тако спектакуларна. Вековима би те кратке минуте требало да буду довољне астрономима да виде соларну корону. Чудно је да се дешавају два пута годишње... али то само значи да се негде на Земљи могу видети на кратко. Као резултат плимних кретања, Месец се удаљава од Земље – за 260 милиона година биће толико удаљен да ћемо (ми???) видети само прстенаста помрачења.

Очигледно први који је предвидео помрачење, био је Талес из Милета (28-585 векова пре нове ере). Да ли се то заиста догодило, односно да ли је предвидео, вероватно нећемо знати, јер чињеница да се помрачење у Малој Азији догодило 567. маја 566. пре Христа чињеница је потврђена савременим прорачунима. Наравно, наводим податке за данашњи обрачун времена. Кад сам био дете, замишљао сам како људи броје године. Дакле, ово је, на пример, КСНУМКС БЦ, долази Нова година и људи се радују: само КСНУМКС година пре нове ере! Како су морали бити срећни када је „наша ера“ коначно стигла! Какав смо прелом миленијума доживели пре неколико година!

Математика израчунавања датума и опсега помрачења, није посебно компликовано, али је натрпано свим врстама фактора повезаних са правилношћу и, што је још горе, са неравномерним кретањем тела у орбитама. Чак бих волео да знам ову математику. Како је Талес из Милета могао да изврши потребне прорачуне? Одговор је једноставан. Морате имати карту неба. Како направити такву мапу? Ово такође није тешко, стари Египћани су знали како то да ураде. У поноћ два свештеника излазе на кров храма. Сваки од њих седне и црта оно што види (као његов колега). После две хиљаде година знамо све о кретању планета...

Лепа геометрија, или забава на "ћилим"

Грци нису волели бројеве, прибегли су геометрији. То је оно што ћемо урадити. Наше помрачење биће једноставне, шарене, али подједнако занимљиве и стварне. Прихватамо конвенцију да се плава фигура креће тако да помрачује црвену. Назовимо плаву фигуру месец, а црвену сунце. Постављамо себи следећа питања:

1. колико дуго траје помрачење;
2. када је половина мете покривена;

   Пиринач. 1 Вишебојни "тепих" са сунцем и месецом

3. колика је максимална покривеност;
4. да ли је могуће анализирати зависност покривености штита од времена? У овом чланку (ограничен сам количином текста) фокусираћу се на друго питање. Иза овога је лепа геометрија, можда без досадних прорачуна. Погледајмо сл. 1. Може ли се претпоставити да ће бити повезан са ... помрачењем Сунца?

Искрено морам да кажем да ће задаци о којима ћу говорити бити посебно одабрани, прилагођени знањима и вештинама ученика средњих и средњих школа. Али ми тренирамо на таквим задацима као што музичари свирају скале, а спортисти раде опште развојне вежбе. Осим тога, зар то није само леп ћилим (сл. 1)?

Пиринач. 2 "Плави" Месец и "Црвено" Сунце

Наша небеска тела, барем у почетку, биће обојени квадрати. Месец је плав, сунце црвено (најбоље за бојење). са садашњошћу помрачење Месец јури сунце по небу, сустиже ... и затвара га. Тако ће бити и са нама. Најједноставнији случај, када се Месец креће у односу на Сунце, као што је приказано на Сл. 2. Помрачење почиње када ивица Месечевог диска додирне ивицу Сунчевог диска (сл. 2) и завршава се када изађе из ње.

Пиринач. 3 Месец се приближава сунцу дијагонално

Претпостављамо да се "Месец" помера за једну ћелију у јединици времена, на пример, у минути. Помрачење тада траје осам јединица времена, рецимо минута. Пола помрачења Сунца Потпуно затамњен Половина бројчаника се затвара два пута: после 2 и 6 минута. Процентуални графикон затамњења је једноставан. Током прва два минута, штит се равномерно затвара брзином од нула до 1, наредна два минута је изложен истом брзином.

Ево још интересантнијег примера (слика 3). Месец се приближава сунцу дијагонално. По нашем договору о плаћању по минути, помрачење траје 8√2 минута - усред овог времена имамо потпуно помрачење. Израчунајмо који део сунца је прекривен после времена т (сл. 3). Ако је од почетка помрачења прошло т минута, а као резултат Месец је као што је приказано на сл. 5, онда (пажња!) Дакле, покривена је (површина квадрата АПКР), једнака половини соларног диска; дакле, покривена је када, тј. после 4 минута (онда 4 минута пре краја помрачења).

Пиринач. 4 Графикон функције „сенчења“.

Тоталност траје један тренутак (т = 4√2), а график функције „осенченог дела“ чине два лука парабола (слика 4).

Наш плави месец ће додирнути угао са црвеним сунцем, али ће га прекрити, идући не дијагонално, већ благо дијагонално.Занимљива геометрија се појављује када мало закомпликујемо кретање (сл. 6). Смер кретања је сада векторски [4,3], односно „четири ћелије удесно, три ћелије нагоре“. Положај Сунца је такав да помрачење почиње (положај А) када се стране „небеских тела“ конвергирају на четвртину њихове дужине. Када се Месец помери у позицију Б, помрачиће једну шестину Сунца, а у положају Ц помрачиће половину. У позицији Д имамо потпуно помрачење, а онда се све враћа, „како је било“.

Пиринач. 5 Део Сунца скривен током времена т

Помрачење се завршава када је Месец у положају Г. Трајало је колико год дужина пресека АГ. Ако као и раније узмемо за јединицу времена време за које Месец пролази „један квадрат“, онда је дужина АГ једнака. Ако бисмо се вратили на стару конвенцију да су наша небеска тела 4 са 4, резултат би био другачији (шта?). Као што је лако показати, циљ се затвара након т < 15. Графикон функције „проценат покривености екрана“ може се видети на сл. 6.

Пиринач. 6 Графикон функције „проценат заштите“.

Једначина помрачења и скока

Пиринач. 7 Опструкција соларног диска током помрачења приказаног на сл. 6

Проблем помрачења био би непотпун да не разматрамо случај кругова. Ово је много компликованије, али хајде да покушамо да схватимо када један круг помрачује половину другог - иу најједноставнијем случају, када се један од њих креће дуж пречника који их повезује. Цртеж је познат власницима неке кредитне картице.

Израчунавање положаја поља је компликовано, јер захтева, прво, познавање формуле за површину кружног сегмента, друго, познавање лука угла, и треће (и што је најгоре), способност да се реши одређена једначина скока. Нећу објашњавати шта је „транзитивна једначина“, погледајмо пример (слика 8).

Пиринач. 8 "Сферично" помрачење

Кружни пресек је "посуда" која остаје након сечења круга равном линијом. Површина таквог сегмента је С = 1/2р²(φ-синφ), где је р полупречник круга, а φ централни угао на који се ослања сегмент (слика 8). Ово се лако добија одузимањем површине троугла од површине кружног сектора.

Епизода О₁O₂ (растојање између центара кругова) је тада једнако 2рцосφ/2, а висина (ширина, „линија струка“) х = 2рсинφ/2. Дакле, ако желимо да израчунамо када ће Месец покрити половину соларног диска, треба да решимо једначину: која после поједностављења постаје:

Пиринач. 9 Графикони две функције

Решење оваквих једначина иде даље од једноставне алгебре – једначина садржи оба угла и њихове тригонометријске функције. Једначина је ван домашаја традиционалних метода. Зато се и зове скочити. Хајде да прво видимо графике обе функције, односно функције и функције.Можемо да прочитамо приближно решење са ове слике. Међутим, можемо добити итеративну апроксимацију или... користити опцију Решавач у Екцел табели. То би сваки средњошколац требало да може, јер је 20. век. Користио сам софистициранији алат Матхематица и ево нашег решења са КСНУМКС децималним местима непотребне прецизности:

СетПрецисион[ФиндРоот[к==Син[к]+Пи/2,{к,2}],20] {к⇒2.3098814600100574523}.

Пиринач. 10 Анимација помрачења у математици

Ово претварамо у степене множењем са 180/π. Добијамо 132 степена, 20 минута, 45 и четврт лучне секунде. Рачунамо да је растојање до центра круга О₁O₂ = 0,808 полупречника, а "струк" 2,310.