ПА КОМЕ, односно: ПРОБАЈ ГДЕ МОЖЕШ - 2. део
У претходној епизоди бавили смо се Судокуом, аритметичком игром у којој су бројеви у основи распоређени у различите дијаграме према одређеним правилима. Најчешћа варијанта је шаховска табла 9×9, додатно подељена на девет ћелија 3×3. На њему морају бити постављени бројеви од 1 до 9 тако да се не понављају ни у вертикалном реду (математичари кажу: у колони) или у хоризонталном реду (математичари кажу: у низу) - и, штавише, тако да не понављају. поновите унутар било ког мањег квадрата.
Na шипак. 1 видимо ову слагалицу у једноставнијој верзији, а то је квадрат 6 × 6 подељен на правоугаонике 2 × 3. У њу убацујемо бројеве 1, 2, 3, 4, 5, 6 – тако да се не понављају вертикално, ни хоризонтално, нити у сваком од изабраних шестоуглова.
Покушајмо приказано у горњем квадрату. Можете ли је попунити бројевима од 1 до 6 према правилима постављеним за ову игру? Могуће је - али двосмислено. Да видимо - нацртајте квадрат лево или квадрат десно.
Можемо рећи да ово није основа за слагалицу. Обично претпостављамо да слагалица има једно решење. Задатак проналажења различитих основа за "велики" Судоку, 9к9, је тежак задатак и нема шансе да се потпуно реши.
Друга важна веза је контрадикторни систем. Доњи средњи квадрат (онај са бројем 2 у доњем десном углу) се не може попунити. Зашто?
Забава и одмори
Играмо даље. Користимо дечју интуицију. Верују да је забава увод у учење. Хајдемо у свемир. укључен шипак. 2 сви виде мрежу тетраедарод лоптица, на пример, пинг-понг лоптица? Присетите се школских лекција геометрије. Боје на левој страни слике објашњавају за шта се лепи приликом склапања блока. Конкретно, три угаоне (црвене) лопте ће бити залепљене у једну. Према томе, они морају бити исти број. Можда 9. Зашто? И зашто не?
Ох, нисам то изразио задаци. Звучи отприлике овако: да ли је могуће уписати бројеве од 0 до 9 у видљиву мрежу тако да свако лице садржи све бројеве? Задатак није тежак, али колико треба да замислите! Нећу кварити задовољство читаоцима и нећу дати решење.
Ово је веома леп и потцењен облик. правилан октаедар, изграђен од две пирамиде (=пирамиде) са квадратном основом. Као што име говори, октаедар има осам лица.
У октаедру постоји шест врхова. То је у супротности коцкакоји има шест лица и осам врхова. Ивице обе грудве су исте - по дванаест. Ово двострука чврста тела - то значи да спајањем центара страна коцке добијамо октаедар, а центри лица октаедра ће нам дати коцку. Обе ове неравнине раде ("јер морају") Ојлерова формула: Збир броја темена и броја лица је 2 већи од броја ивица.
3. Правилан октаедар у паралелној пројекцији и октаедарска решетка састављена од сфера на начин да свака ивица има четири сфере.
Задатак КСНУМКС. Прво, запишите последњу реченицу претходног пасуса користећи математичку формулу. На шипак. 3 видите октаедарску мрежу, такође сачињену од сфера. Свака ивица има четири лопте. Свако лице је троугао од десет сфера. Проблем се поставља независно: да ли је могуће у кругове мреже ставити бројеве од 0 до 9 тако да након лепљења чврстог тела сваки зид садржи све бројеве (из тога следи без понављања). Као и раније, највећа потешкоћа у овом задатку је како се мрежа трансформише у чврсто тело. Не могу то да објасним писмено, па ни овде не дајем решење.
4. Два икосаедра од пинг-понг лоптица. Обратите пажњу на различиту шему боја.
већ Платон (а живео је у XNUMX.-XNUMX. веку пре нове ере) познавао све правилне полиедре: тетраедар, коцку, октаедар, додекаедар i икосаедар. Невероватно је како је стигао тамо – без оловке, без папира, без оловке, без књига, без паметног телефона, без интернета! Нећу овде да говорим о додекаедру. Али икосаедарски судоку је занимљив. Видимо ову грудвицу илустрација 4и његову мрежу слика 5.
5. Правилна мрежа икосаедра.
Као и до сада, ово није мрежа у смислу у ком памтимо (?!) из школе, већ начин лепљења троуглова од лоптица (лоптица).
Задатак КСНУМКС. Колико је лоптица потребно да се направи такав икосаедар? Да ли остаје тачно следеће резоновање: пошто је свако лице троугао, ако треба да има 20 лица, онда је потребно чак 60 сфера?
6. Мрежа икосаедра из сфера. Сваки круг је, на пример, пинг-понг лоптица, али се конструкција кругова на круговима обележеним истом бојом спаја у један. Дакле, имамо дванаест сфера (= дванаест врхова: црвена, плава, љубичаста, плава и осам жутих).
Лако је видети да три броја у икосаедру нису довољна. Тачније: немогуће је набројати темене са бројевима 1, 2, 3 тако да свако (троугласто) лице има ова три броја и да нема понављања. Да ли је могуће са четири броја? Да, могуће је! Хајде да погледамо Пиринач. 6 и 7.
7. Ево како нумерисати сфере које чине икосаедар тако да свако лице садржи бројеве који нису 1, 2, 3, 4. Које од тела на сл. 4 је овако обојена?
Задатак КСНУМКС. Три од четири броја могу се изабрати на четири начина: 123, 124, 134, 234. Пронађите пет таквих троуглова у икосаедру на сл. 7 (као и од илустрације 4).
Вежба 4 (захтева веома добру просторну машту). Икосаедар има дванаест врхова, што значи да се може залепити од дванаест куглица (шипак. 7). Имајте на уму да постоје три врха (=лоптице) означена са 1, три са 2 итд. Дакле, куглице исте боје формирају троугао. Шта је овај троугао? Можда једнакостраничан? Погледај поново илустрације 4.
Следећи задатак за деду / баку и унука / унуку. И родитељи коначно могу да се окушају, али им је потребно стрпљење и време.
Задатак КСНУМКС. Купите дванаест (најбоље 24) пинг-понг лоптице, четири боје фарбе, четкицу и прави лепак - не препоручујем брзе као што су Суперглуе или Дроплет јер се пребрзо суше и опасне су за децу. Залепите икосаедар. Обуците своју унуку у мајицу која ће се одмах након тога опрати (или бацити). Покријте сто фолијом (најбоље новинама). Пажљиво обојите икосаедар са четири боје 1, 2, 3, 4, као што је приказано на сл. шипак. 7. Можете променити редослед - прво обојите балоне, а затим их залепите. У исто време, сићушни кругови морају остати необојени како се боја не би залепила за боју.
Сада је најтежи задатак (тачније, цео њихов низ).
Вежба 6 (Тачније, општа тема). Нацртајте икосаедар као тетраедар и октаедар Пиринач. 2 и 3 То значи да на свакој ивици треба да буду четири лопте. У овој варијанти, задатак је и дуготрајан и чак скуп. Почнимо тако што ћемо сазнати колико лоптица вам треба. Свако лице има десет сфера, па икосаедру треба две стотине? Не! Морамо запамтити да се многе лопте деле. Колико ивица има икосаедар? Може се мукотрпно израчунати, али чему служи Ојлерова формула?
в–к+с=2
где су в, к, с број темена, ивица и лица, респективно. Сетимо се да је в = 12, с = 20, што значи к = 30. Имамо 30 ивица икосаедра. Можете то учинити другачије, јер ако има 20 троуглова, онда они имају само 60 ивица, али су две уобичајене.
Хајде да израчунамо колико лоптица вам треба. У сваком троуглу постоји само једна унутрашња лопта - ни на врху нашег тела, ни на ивици. Тако имамо укупно 20 таквих лопти. Има 12 врхова. Свака ивица има две куглице које нису теме (оне су унутар ивице, али не и унутар лица). Пошто има 30 ивица, има 60 кликера, али два су заједничка, што значи да вам треба само 30 кликера, тако да вам треба укупно 20 + 12 + 30 = 62 кликера. Лопте се могу купити за најмање 50 пенија (обично скупље). Ако додате цену лепка, изаћи ће ... много. Добро спајање захтева неколико сати мукотрпног рада. Заједно су погодни за опуштајућу забаву - препоручујем их уместо, на пример, гледања телевизије.
Повлачење 1. У филмском серијалу Анџеја Вајде „Године, дани“ двојица мушкараца играју шах „јер морају некако да прођу време до вечере“. Одржава се у галицијском Кракову. Заиста: новине су већ прочитане (тада су имале 4 странице), ТВ и телефон још нису измишљени, нема фудбалских утакмица. Досада у локвама. У таквој ситуацији људи су сами себи смислили забаву. Данас их имамо након притиска на даљински управљач...
Повлачење 2. На састанку Удружења наставника математике 2019, један шпански професор је демонстрирао компјутерски програм који може да фарба чврсте зидове у било коју боју. Било је мало језиво, јер су само нацртали руке, скоро одсекли тело. Помислио сам у себи: колико се може забавити од таквог "сенчења"? Све траје два минута, а до четвртог се ништа не сећамо. У међувремену, старомодни „шивени рад” смирује и образује. Ко не верује нека покуша.
Вратимо се у КСНУМКС век и у наше реалности. Ако не желимо опуштање у виду мукотрпног лепљења куглица, онда ћемо нацртати бар мрежу икосаедра на чије ивице се налазе четири куглице. Како се то ради? Исецкајте га исправно слика 6. Пажљиви читалац већ погађа проблем:
Задатак КСНУМКС. Да ли је могуће набројати куглице бројевима од 0 до 9 тако да се сви ови бројеви појаве на свакој страни таквог икосаедра?
За шта смо плаћени?
Данас се често постављамо питање сврхе наших активности, а „сиви порески обвезник“ ће се запитати зашто би плаћао математичарима да решавају овакве загонетке?
Одговор је прилично једноставан. Такве „загонетке“, занимљиве саме по себи, су „фрагмент нечег озбиљнијег“. Уосталом, војне параде су само спољашњи, спектакуларни део тешке службе. Навешћу само један пример, али ћу почети са чудним, али међународно признатим математичким предметом. Године 1852. један енглески студент је питао свог професора да ли је могуће обојити карту у четири боје тако да суседне земље увек буду приказане различитим бојама? Дозволите ми да додам да не сматрамо „суседима“ оне који се сусрећу само у једној тачки, као што су државе Вајоминг и Јута у САД. Професор није знао... а проблем је чекао на решење преко сто година.
8. Икосаедар из РЕЦО блокова. Рефлектори блица показују шта је заједничко икосаедру са троуглом и петоуглом. Пет троуглова конвергира у сваком врху.
Десило се на неочекиван начин. Године 1976. група америчких математичара написала је програм за решавање овог проблема (и одлучили су: да, четири боје ће увек бити довољне). Ово је био први доказ математичке чињенице добијене уз помоћ „математичке машине” – како се компјутер звао пре пола века (а и раније: „електронски мозак”).
Ево посебно приказане „мапе Европе“ (шипак. 9). Оне земље које имају заједничку границу су повезане. Бојење мапе је исто као и бојење кругова овог графикона (који се назива граф) тако да ниједан повезани круг није исте боје. Поглед на Лихтенштајн, Белгију, Француску и Немачку показује да три боје нису довољне. Ако желите, Читаоче, обојите га у четири боје.
9. Ко се са ким граничи у Европи?
Па да, али да ли је вредно новца пореских обвезника? Дакле, хајде да погледамо исти графикон мало другачије. Заборавите да постоје државе и границе. Нека кругови симболизују информацијске пакете који се шаљу са једне тачке на другу (на пример, од П до ЕСТ), а сегменти представљају могуће везе, од којих свака има свој пропусни опсег. Послати што је пре могуће?
Прво, погледајмо једну веома поједностављену, али и веома занимљиву ситуацију са математичке тачке гледишта. Морамо да пошаљемо нешто од тачке С (= као почетак) до тачке М (= завршетак) користећи мрежу везе са истим пропусним опсегом, рецимо 1. Ово видимо у шипак. 10.
10. Мрежа веза од Статсиика Здрој до Мегаполиса.
Замислимо да око 89 битова информација треба послати од С до М. Аутор ових речи воли проблеме око возова, па замишља да је управник у Стацие Здрој, одакле треба да пошаље 144 вагона. до станице метропола. Зашто баш 144? Јер, као што ћемо видети, ово ће се користити за израчунавање пропусности целе мреже. Капацитет је 1 у свакој партији, тј. један аутомобил може проћи у јединици времена (један бит информација, могуће и гигабајт).
Хајде да се побринемо да се сви аутомобили сретну у исто време у М. Сви стигну тамо за 89 јединица времена. Ако имам веома важан пакет информација од С до М да пошаљем, разбијем га у групе од 144 јединице и прогурам га као горе. Математика гарантује да ће ово бити најбрже. Како сам знао да ти треба 89? Заправо сам претпоставио, али да нисам погодио, морао бих да схватим Кирхофове једначине (да ли се неко сећа? - ово су једначине које описују ток струје). Капацитет мреже је 184/89, што је приближно једнако 1,62.
Ох радости
Иначе, волим број 144. Волео сам да се возим аутобусом са овим бројем до Трга замка у Варшави – када поред њега није било обновљеног Краљевског замка. Можда млади читаоци знају шта је туце. То је 12 примерака, али само старији читаоци памте да је десетак, тј. 122=144, ово је тзв. лот. И свако ко зна математику мало више од школског програма то ће одмах схватити шипак. 10 имамо Фибоначијеве бројеве и да је пропусни опсег мреже близу „златног броја“
У Фибоначијевом низу, 144 је једини број који је савршен квадрат. Сто четрдесет четири је такође „радосни број“. Тако је индијски математичар аматер Даттатреиа Рамацхандра Цапрецар 1955. је именовао бројеве који су дељиви збиром њихових саставних цифара:
Да је знао Адам Мицкиевицз, сигурно би написао не у Дзиади: „Од туђе мајке; крв су му стари јунаци / И име му је четрдесет четири, само отменије: А име му је сто четрдесет четири.
Схватите забаву озбиљно
Надам се да сам убедио читаоце да су судоку загонетке забавна страна питања која свакако заслужују да буду схваћена озбиљно. Не могу даље да развијам ову тему. Ох, израчунавање пуне пропусности мреже према приказаном дијаграму шипак. 9 писање система једначина би трајало два или више сати – можда чак и десетине секунди (!) рада на рачунару.
