Чланак ни о чему

Као дете ме је фасцинирала прича, вероватно позната многим читаоцима, о „чорби на нокту“. Моја бака (КСНУМКС век рођења) ми је то рекла у верзији "Козак је дошао и тражио воду, јер има нокат и куваће супу на њему." Знатижељна домаћица му је дала лонац воде... и знамо шта је било даље: „супа нека буде слана, даитија, баба, со”, па је опрао месо „да побољша укус” и тако даље. На крају је бацио „скувани” ексер.

Дакле, овај чланак је требало да буде о празнини свемира – а овде је реч о слетању европског апарата на комету 67П / Чурјумов-Герасименко 12. новембра 2014. Али док сам писао, подлегао сам дугогодишњој навици, Ја сам још увек математичар. Како је са Каос Нула математика?

Како Ништа не постоји?

Не може се рећи да Ништа не постоји. Постоји барем као филозофски, математички, религиозни и потпуно колоквијални концепт. Нула је обичан број, нула степени на термометру је такође температура, а нулти биланс у банци је непријатна, али уобичајена појава. Имајте на уму да у хронологији нема нулте године, а то је зато што је нула уведена у математику тек у касном средњем веку, касније од хронологије коју је предложио монах Дионисије (КСНУМКС век).

Чудно је да бисмо заиста могли без ове нуле, а самим тим и без негативних бројева. У једном од уџбеника из логике пронашао сам вежбу: нацртај или реци како замишљаш одсуство рибе. Невероватно, зар не? Свако може да нацрта рибу, али не једну?

Сада укратко основни курс математике. Додељивање привилегије постојања празном скупу означеном прецртаним кругом ∅ је неопходна процедура аналогна додавању нуле скупу бројева. Празан скуп је једини скуп који не садржи ниједан елемент. Такве колекције:

Али не постоје два различита празна скупа. Празан сет је укључен у сваки други сет:

Заиста, правила математичке логике кажу да је скуп А садржан у скупу Б ако и само ако реченица:

то подразумева

У случају празног скупа ∅, пропозиција је увек лажна, па је према законима логике импликација генерално тачна. Све произилази из лажи („овде ћу узгајати кактус ако пређеш у следећи разред...“). Дакле, пошто је празан скуп садржан у сваком другом, онда да су два различита, сваки од њих би био садржан у другом. Међутим, ако су два скупа садржана један у другом, они су једнаки. Зато: постоји само један празан сет!

Постулат о постојању празног скупа не противречи никаквим законима математике, па зашто га не применити у пракси? Филозофски принцип тзвокамова бритва» Налог да се искључе непотребни појмови, али таман концепт празног скупа је веома користан у математици. Имајте на уму да празан скуп има димензију -1 (минус један) - нулдимензионални елементи су тачке и њихови ретки системи, једнодимензионални елементи су праве, а о веома сложеним математичким елементима са фракталном димензијом смо говорили у поглављу о фракталима. .

Занимљиво је да се цела грађевина математике: бројеви, бројеви, функције, оператори, интеграли, диференцијали, једначине... могу извести из једног појма – празног скупа! Довољно је претпоставити да постоји празан скуп, новонастали елементи се могу комбиновати у скупове да би се изгради сву математику. Овако је немачки логичар Готлоб Фреге конструисао природне бројеве. Нула је класа скупова чији су елементи у међусобној кореспонденцији са елементима празног скупа. Један је класа скупова чији су елементи у међусобној кореспонденцији са елементима скупа чији је једини елемент празан скуп. Два је класа скупова чији су елементи један према један са елементима скупа који се састоји од празног скупа и скупа чији је једини елемент празан скуп... и тако даље. На први поглед изгледа да је ово нешто веома компликовано, али у ствари није.

Плаво се шири по мени

мирисао на вријесак и мирисао на менту...

Војчех Млинарски, Жетвена девојка

Тешко је замислити

Ништа није тешко замислити. У причи Станислава Лема „Како је свет спашен“, дизајнер Трурл је направио машину која би радила све почевши од слова. Када је Клапауције наредио да се изгради ниц, машина је почела да уклања разне објекте из света – са крајњим циљем да уклони све. Док је уплашени Клапауциус зауставио кола, галије, тисе, вешалице, хакови, риме, лопатице, пуфови, млинци, ражњићи, филидрони и мразеви су заувек нестали са света. И заиста, нестали су заувек ...

Јозеф Тишнер је веома добро писао о ништавилу у својој Историји планинске филозофије. Током свог последњег одмора одлучио сам да доживим ово ништавило, наиме, отишао сам на тресетиште између Новог Тарга и Јаблонке у Подхалу. Ова област се чак назива и Пустацхиа. Идеш, идеш, али пут се не смањује – наравно, у нашим скромним, пољским размерама. Једног дана сам отишао аутобусом у канадску провинцију Саскачеван. Напољу је било поље кукуруза. Задремао сам пола сата. Кад сам се пробудио, возили смо се кроз исто кукурузиште... Али чекај, је ли ово празно? У извесном смислу, одсуство промене је само празнина.

Навикли смо на стално присуство разних предмета око нас, и од Нешто не можеш побећи ни затворених очију. „Мислим, дакле јесам“, рекао је Декарт. Ако сам већ нешто мислио, онда постојим, што значи да постоји бар нешто на свету (наиме, ја). Да ли постоји оно што сам мислио? О томе се може дискутовати, али у савременој квантној механици познат је Хајзенбергов принцип: свако посматрање ремети стање посматраног објекта. Док то не видимо ниц не постоји, а када почнемо да тражимо, објекат престаје да постоји Као и постаје Нешто. Постаје апсурдно антропски принцип: Нема смисла питати се какав би свет био да нас нема. Свет је онакав какав нам се чини. Можда ће друга бића видети Земљу као угаону?

Позитрон (тако позитиван електрон) је рупа у свемиру, „нема електрона“. У процесу анихилације, електрон скочи у ову рупу и „ништа се не дешава“ – нема рупе, нема електрона. Прескочићу многе шале о рупама у швајцарском сиру („што више имам, то мање...”). Чувени композитор Џон Кејџ већ је до те мере искористио своје идеје да је компоновао (?) музичко дело (?) у коме оркестар седи непомично 4 минута 33 секунде и, наравно, ништа не свира. „Четири минута и тридесет и три секунде су две стотине седамдесет три, 273, а минус 273 степена је апсолутна нула, на којој се зауставља свако кретање“, објаснио је композитор (?).

Филтрирај на нулу, ништа, ницк, ницк, ништа, нула!

Јерзи у филму Андрзеја Вајде Током година,

дани пролазе"

Како је са свима?

Многи људи (од једноставних фармера до истакнутих филозофа) питали су се о феномену постојања. У математици је ситуација једноставна: постоји нешто што је доследно.

Нестала је у рубним пољима

У кукурику, корову и лављим устима ...

Па, овакве ствари се дешавају

Нарочито у жетви, а и током жетве

посебно…

Војчех Млинарски, Жетвена девојка

Све је на другој крајности Ништа. У математици то знамо Све не постоји. Само сувише нетачна идеја да би његово постојање било без контроверзи. Ово се може разумети на примеру старог парадокса: „Ако је Бог свемоћан, онда створите камен да га покупите?“ Математички доказ да не може бити скупова свих скупова заснован је на теореми певач-Берштејн, који каже да је "бесконачан број" (математички: основни број) скуп свих чланова датог скупа је већи од броја елемената овог скупа.

Ако скуп има елементе, онда има 2ⁿ подскупови; на пример, када је = 3 и скуп се састоји од {1, 2, 3} тада постоје следећи подскупови:

• три скупа од два елемента: сваком од њих недостаје један од бројева 1, 2, 3,
• један празан сет,
• три једноелементна сета,
• цео сет {1,2,3}

– само осам, 2³А читаоци који су недавно завршили школу, желео бих да подсетим на одговарајућу формулу:

Сваки од Њутнових симбола у овој формули одређује број скупова к-елемената у скупу -елемената.

У математици, биномни коефицијенти се појављују на многим другим местима, као на пример у занимљивим формулама за редуковано множење:

а из њиховог тачног облика много је интересантнија њихова међузависност.

Тешко је разумети шта – што се логике и математике тиче – јесте, а шта Све није. Аргументи за непостојање Исто као и Вини Пу, који је љубазно питао свог госта, Тигра, да ли тигрови уопште воле мед, жир и чичак? „Тигрови воле све“, одговорио је онај из којег је Кубус закључио да ако им се све свиђа, онда воле и да спавају на поду, па он, Вини, може да се врати у кревет.

Још један аргумент Раселов парадокс. У граду постоји берберин који брије све мушкарце који се не брију сами. Да ли се брије сам? Оба одговора су у супротности са постављеним условом да убијају оне, и то само оне, који то сами не ураде.

Тражим колекцију свих колекција

У закључку ћу дати паметан, али највише математички доказ да не постоји скуп свих скупова (да се не меша са њим).

Прво ћемо показати да је за било који непразан скуп Кс немогуће пронаћи међусобно јединствену функцију која пресликава овај скуп у скуп његових подскупова П(Кс). Дакле, претпоставимо да ова функција постоји. Означимо га традиционалним ф. Шта је ф од к? Ово је збирка. Да ли кф припада к? Ово је непознато. Или мораш или не мораш. Али за неко х оно и даље мора бити такво да не припада ф од к. Па, онда размотримо скуп свих к за које к не припада ф(к). Означимо га (овај скуп) са А. Он одговара неком елементу а скупа Кс. Да ли а припада А? Претпоставимо да би требало. Али А је скуп који садржи само оне елементе к који не припадају ф(к) ... Па, можда не припада А? Али скуп А садржи све елементе овог својства, па отуда и А. Крај доказа.

Дакле, када би постојао скуп свих скупова, он би и сам био подскуп самог себе, што је према претходном резоновању немогуће.

Уф, мислим да многи читаоци нису видели овај доказ. Уместо тога, изнео сам то да покажем шта су математичари морали да ураде на крају деветнаестог века, када су почели да проучавају основе сопствене науке. Испоставило се да проблеми леже тамо где их нико није очекивао. Штавише, за целу математику, ова размишљања о основама нису битна: ма шта се дешавало у подрумима – цела зграда математике стоји на чврстој стени.

У међувремену, на врху...

Још један морал бележимо из прича Станислава Лема. На једном од својих путовања, Ајон Тичи је стигао до планете чији су становници, после дуге еволуције, коначно достигли највиши степен развоја. Сви су јаки, могу све, имају све на дохват руке... и не раде ништа. Легну на песак и сипају га међу прсте. „Ако је све могуће, не вреди“, објашњавају шокираном Ијону. Да се ​​ово не деси нашој европској цивилизацији...