Путовање у нестварни свет математике

Овај чланак сам написао у једном од окружења, након предавања и вежбе на факултету рачунарства. Браним се од критика на рачун ученика ове школе, њиховог знања, односа према науци и, што је најважније, њиховог наставног умећа. Ово... нико их не учи.

Зашто сам тако дефанзивна? Из једноставног разлога – ја сам у годинама када, вероватно, свет око нас још није схваћен. Можда их учим да упрежу и распрежу коње, а не да возе ауто? Можда их учим да пишу пером? Иако имам боље мишљење о особи, сматрам да „следим“, али…

Донедавно се у средњој школи говорило о комплексним бројевима. И баш ове среде сам дошао кући, дао отказ - скоро нико од ученика још није научио шта је то и како да користи ове бројеве. Неки на сву математику гледају као на гуска на фарбана врата. Али био сам и искрено изненађен када су ми рекли како да учим. Једноставно речено, сваки сат предавања је два сата домаћег задатка: читање уџбеника, учење решавања задатака на задату тему итд. Припремивши се на овај начин, долазимо до вежби, где све унапређујемо... Задовољно, студенти су, очигледно, помислили да седење на предавању – најчешће гледајући кроз прозор – већ гарантује улазак знања у главу.

Зауставити! Доста овога. Описаћу свој одговор на питање које сам добила на часу са стипендистима Националног дечјег фонда, институције која подржава талентовану децу из целе земље. Питање (или боље речено предлог) је било:

— Можете ли нам рећи нешто о нестварним бројевима?

„Наравно“, одговорио сам. 

Реалност бројева

„Пријатељ је друго ја, пријатељство је однос бројева 220 и 284“, рекао је Питагора. Овде се ради о томе да је збир делилаца броја 220 284, а збир делилаца броја 284 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Још једна занимљива подударност између бројева 220 и 284 је ова: седамнаест највиших простих бројева су 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, и 59.

Њихов збир је 2к220, а збир квадрата је 59к284.

Први. Не постоји концепт „стварног броја“. То је као да након што прочитате чланак о слоновима, питате: "Сада ћемо питати за не-слонове." Постоје целине и нецелине, рационалне и ирационалне, али нема нестварних. Конкретно: бројеви који нису реални не називају се неважећим. У математици постоји много врста „бројева“ и они се међусобно разликују, попут – да узмемо зоолошко поређење – слона и кишне глисте.

Друго, извршићемо операције за које можда већ знате да су забрањене: извлачење квадратних корена негативних бројева. Па, математика ће превазићи такве баријере. Има ли смисла ипак? У математици, као иу свакој другој науци, да ли ће теорија заувек улазити у складиште знања зависи... од њене примене. Ако је бескорисно, онда заврши у ђубрету, па у неком ђубрету историје знања. Без бројева о којима говорим на крају овог чланка, немогуће је развити математику. Али почнимо са неким малим стварима. Шта су стварни бројеви, знате. Густо и без празнина попуњавају бројевну праву. Знате и шта су природни бројеви: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - сви они неће стати у сећање чак и највеће. Имају и лепо име: природно. Имају толико занимљивих својстава. како вам се допада ово:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² = КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС² + КСНУМКС²

1³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ = КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³ + КСНУМКС³

1⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ = КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴ + КСНУМКС⁴

1⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ = КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵ + КСНУМКС⁵

1⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС³ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ = КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶ + КСНУМКС⁶

1⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС³ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ = КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷ + КСНУМКС⁷

„Природно је бити заинтересован за природне бројеве“, рекао је Карл Линденхолм, а Леополд Кронекер (1823–1891) је то сажето рекао: „Бог је створио природне бројеве — све остало је дело човека!“ Разломци (математичари називају рационалним бројевима) такође имају невероватна својства:

и у једнакости:

можете, почевши од леве стране, трљати плусеве и заменити их знаковима множења - и једнакост ће остати истинита:

И тако даље.

Као што знате, за разломке а/б, где су а и б цели бројеви, а б = 0, кажу рационалан број. Али само на пољском тако себе називају. Говоре енглески, француски, немачки и руски. рационалан број. На енглеском: рационални бројеви. Ирационални бројеви то је ирационално, ирационално. Такође говоримо пољски о ирационалним теоријама, идејама и делима - ово је лудило, имагинарно, необјашњиво. Кажу да се жене боје мишева – зар то није тако ирационално?

У давна времена бројеви су имали душу. Сваки је нешто значио, сваки је нешто симболизовао, сваки је одражавао честицу те хармоније Универзума, односно на грчком Космоса. Сама реч "космос" значи управо "ред, ред". Најважнији су били шест (савршен број) и десет, збир узастопних бројева 1+2+3+4, састављен од других бројева чија је симболика опстала до данас. Дакле, Питагора је учио да су бројеви почетак и извор свега, а само откриће ирационални бројеви окренуо питагорејски покрет ка геометрији. Знамо резоновање из школе да

√2 је ирационалан број

Јер претпоставимо да постоји: и да се овај разломак не може смањити. Конкретно, и п и к су непарни. Хајде да квадрирамо: 2к²=p². Број п не може бити непаран, пошто је тада п² такође би било, а лева страна једнакости је вишеструка од 2. Дакле, п је парно, тј. п = 2р, дакле п²= 4 године². Смањујемо једначину 2к²= 4 године² са 2. Добијамо к²= 2 године² и видимо да к такође мора бити паран, што смо претпоставили да није тако. Добијена контрадикција употпуњује доказ - ова формула се често може наћи у свакој математичкој књизи. Овај посредни доказ је омиљени трик софиста.

Питагорејци нису могли да разумеју ову неизмерност. Све мора да се може описати бројевима, а дијагонала квадрата, коју свако може да нацрта штапом по песку, нема, односно мерљиву, дужину. „Наша вера је била узалудна“, изгледа да кажу питагорејци. Како то? То је некако... ирационално. Унија је покушала да се спасе секташким методама. Свако ко се усуди да открије своје постојање ирационални бројеви, требало је казнити смрћу, а, по свему судећи, прву казну је извршио сам господар.

Али „мисао је прошла неоштећена“. Златно доба је стигло. Грци су победили Персијанце (Маратон 490, Блок 479). Ојачала се демократија, настали су нови центри филозофске мисли и нове школе. Питагорејци су се и даље борили са ирационалним бројевима. Неки су проповедали: ми нећемо схватити ову мистерију; можемо само да контемплирамо и дивимо се Унцхартед-у. Ови други су били прагматичнији и нису поштовали Мистерију. Тада су се појавиле две менталне конструкције које су омогућиле разумевање ирационалних бројева. Чињеница да их данас прилично добро разумемо припада Еудоксу (XNUMX. век пре нове ере), а тек крајем XNUMX. века немачки математичар Рихард Дедекинд дао је теорији Еудокса прави развој у складу са захтевима ригорозне математичка логика.

Маса фигура или мучења

Да ли бисте могли да живите без бројева? Чак и кад би то био живот... Морали бисмо у продавницу да купимо ципеле са штапом, којем смо претходно измерили дужину стопала. „Хтео бих јабуке, ах, ево га!” – приказали бисмо продавце на пијаци. „Колико је удаљено од Модлина до Нови Двур Мазовиецки“? "Врло близу!"

За мерење се користе бројеви. Уз њихову помоћ изражавамо и многе друге појмове. На пример, размера карте показује колико се смањила површина земље. Скала два према један, или једноставно 2, изражава чињеницу да је нешто удвостручено. Рецимо математички: свакој хомогености одговара број – њена скала.

Задатак. Направили смо ксерографску копију, увећавајући слику неколико пута. Затим је увећани фрагмент поново увећан б пута. Која је општа скала увећања? Одговор: а × б помножено са б. Ове скале треба помножити. Број "минус један", -1, одговара једној прецизности која је центрирана, односно ротирана за 180 степени. Који број одговара окрету од 90 степени? Не постоји такав број. Јесте, јесте… или боље речено, биће ускоро. Да ли сте спремни за моралну тортуру? Охрабри се и узми квадратни корен од минус један. Слушам? Шта не можеш? Уосталом, рекао сам ти да будеш храбар. Извуците га! Хеј, добро, вуци, вуци... Ја ћу помоћи... Ево: -1 Сада када га имамо, хајде да покушамо да га искористимо... Наравно, сада можемо извући корене свих негативних бројева, за пример.:

√-4 = 2√-1, √-КСНУМКС = 4√-1

„Без обзира на душевне болове које то подразумева. Ово је оно што је Ђироламо Кардано писао 1539. године, покушавајући да превазиђе менталне потешкоће повезане са - како је убрзо почело да се назива - имагинарне величине. Сматрао је ове...

...Задатак. Поделите 10 на два дела чији је производ 40. Сећам се да је из претходне епизоде ​​написао нешто овако: Свакако немогуће. Међутим, хајде да урадимо ово: поделимо 10 на два једнака дела, од којих је сваки једнак 5. Помножите их - испало је 25. Од добијених 25, сада одузмите 40, ако желите, и добићете -15. Сада погледајте: √-15 додато и одузето од 5 даје производ 40. Ово су бројеви 5-√-15 и 5 + √-15. Цардано је проверу резултата извршио на следећи начин:

„Без обзира на бол у срцу, помножите 5 + √-15 са 5-√-15. Добијамо 25 - (-15), што је једнако 25 + 15. Дакле, производ је 40 .... Заиста је тешко“.

Па, колико је: (1 + √-1) (1-√-1)? Хајде да се множимо. Запамтите да је √-1 × √-1 = -1. Велики. Сада тежи задатак: од а + б√-1 до аб√-1. Шта се десило? Свакако, овако: (а + б√-1) (аб√-1) = а²+b²

Шта је ту интересантно? На пример, чињеница да можемо факторисати изразе које „пре тога нисмо знали“. Скраћена формула за множење за²-b² Да ли се сећате формуле за²+b² није, јер није могло бити. У домену реалних бројева полином²+b² то је неизбежно. Означимо "наш" квадратни корен од "минус један" словом и.²= -1. То је "нестваран" прост број. И то је оно што описује окретање авиона за 90 степени. Зашто? После свега,²= -1, а комбиновање једне ротације од 90 степени и друге ротације од 180 степени даје ротацију за 45 степени. Која врста ротације је описана? Очигледно заокрет од XNUMX степени. Шта значи -и? Мало је компликованије:

(-ја)² = -и × (-и) = + и² = -КСНУМКС

Дакле -и такође описује ротацију од 90 степени, само у супротном смеру од ротације и. Који је леви, а који десни? Морате заказати термин. Претпостављамо да број и одређује ротацију у правцу који математичари сматрају позитивним: у смеру супротном од казаљке на сату. Број -и описује ротацију у правцу кретања показивача.

Али да ли бројеви попут и и -и постоје? Аре! Само смо их оживели. Слушам? Да постоје само у нашој глави? Па шта очекивати? Сви остали бројеви такође постоје само у нашем уму. Морамо да видимо да ли ће наши новорођени бројеви преживети. Тачније, да ли је дизајн логичан и да ли ће за нешто бити од користи. Верујте ми на реч да је све у реду и да су ови нови бројеви заиста од помоћи. Бројеви попут 3+и, 5-7и, уопштеније: а+би називају се комплексним бројевима. Показао сам вам како их можете добити окретањем авиона. Могу се уносити на различите начине: као тачке у равни, као неки полиноми, као нека врста нумеричких низова ... и сваки пут су исти: једначина к² +1=0 нема елемента... хокус покус је већ ту!!!! Радујмо се и радујмо се!!!

Крај турнеје

Овим је завршена наша прва турнеја по земљи лажних бројева. Од осталих неземаљских бројева поменућу и оне који имају бесконачан број цифара испред, а не иза (они се зову 10-адични, за нас су важнији п-ади, где је п прост број), јер пример Кс = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Хајде да избројимо Кс молим². Јер? Шта ако израчунамо квадрат броја иза којег следи бесконачан број цифара? Па, хајде да урадимо исто. Знамо да је х² = Х.

Нађимо још један такав број са бесконачним бројем цифара испред који задовољава једначину. Савет: квадрат броја који се завршава на шест такође се завршава на шест. Квадрат броја који се завршава на 76 завршава се и на 76. Квадрат броја који се завршава на 376 такође се завршава на 376. Квадрат броја који се завршава на 9376 такође се завршава на 9376. Квадрат броја који се завршава на КСНУМКС на… Постоје и бројеви који су толико мали да, будући да су позитивни, остају мањи од било ког другог позитивног броја. Толико су сићушни да је понекад довољно да их квадрирате да добијете нулу. Постоје бројеви који не задовољавају услов а × б = б × а. Постоје и бесконачни бројеви. Колико има природних бројева? Бесконачно много? Да, али колико? Како се ово може изразити као број? Одговор: најмањи од бесконачних бројева; означено је лепим словом: А и допуњено нултим индексом А₀ , алеф-нула.

Постоје и бројеви за које не знамо да постоје... или за које можете веровати или не веровати како хоћете. И кад говоримо о сличном: надам се да вам се и даље свиђају Нестварни бројеви, бројеви фантазијских врста.