Једноставни модели са сложеним понашањем, тј. хаосом

Компјутер је алат који научници све више користе за откривање тајни које природа пажљиво скрива. Моделирање, уз експеримент и теорију, постаје трећи начин проучавања света.

Пре три године, на Универзитету у Шлеској, покренули смо програм за интеграцију компјутерских метода у образовање. Као резултат тога, створено је много изузетно узбудљивих дидактичких материјала који олакшавају и продубљују проучавање многих тема. Као главни алат изабран је Пајтон, који је, заједно са снагом доступних научних библиотека, вероватно најбоље решење за „компјутерске експерименте” са једначинама, сликама или подацима. Једна од најзанимљивијих имплементација комплетног радног стола је Саге [2]. То је отворена интеграција система рачунарске алгебре са језиком Питхон, а такође вам омогућава да одмах почнете да играте користећи веб прегледач и једну од могућих опција приступа преко клауд сервиса [3] или једног рачунарског сервера на којем је интерактивна верзија овог чланка заснована је на [4] .

Хаос у екологији

На првој години Оксфордског универзитета, аустралијски научник Роберт Меј проучавао је теоријске аспекте демографске динамике. Он је резимирао свој рад у раду који се појавио у часопису Натуре под провокативним насловом „Једноставни математички модели са веома сложеном динамиком“ [КСНУМКС]. Током година, овај чланак је постао један од најцитиранијих радова у теоријској екологији. Шта је изазвало такво интересовање за ово дело?

Класични проблем динамике популације је израчунавање будуће популације одређене врсте, с обзиром на њено садашње стање. Математички се сматрало да су екосистеми најједноставнији у којима живот једне генерације становништва траје једно годишње доба. Добар пример је популација инсеката који пролазе кроз потпуну метаморфозу у једној сезони, као што су лептири. Време је природно подељено на дискретне периоде2 који одговарају животним циклусима популације. Дакле, једначине које описују такав екосистем природно имају тзв дискретно време, тј. т = 1,2,3…. Роберт Меј се, између осталог, бавио таквом динамиком. У свом образложењу, он је поједноставио екосистем на једну врсту чија је популација била квадратна функција популације из претходне године. Одакле је дошао овај модел?

Најједноставнија дискретна једначина која описује еволуцију популације је линеарни модел:

где је Ни бројност у и-тој сезони, а Ни + 1 описује популацију у следећој сезони. Лако је видети да таква једначина може довести до три сценарија. Када је а = 1, еволуција неће променити величину популације, и <1 води до изумирања, а случај а > 1 значи неограничен раст популације. То ће довести до неравнотеже у природи. Пошто је све у природи ограничено, има смисла прилагодити ову једначину тако да узме у обзир ограничену количину ресурса. Замислите да штеточине једу жито, које је сваке године потпуно исто. Ако је инсеката мало у поређењу са количином хране коју могу да репродукују, они могу да се размножавају пуном репродуктивном снагом, математички одређеном константом а > 1. Међутим, како се број штеточина повећава, храна ће бити оскудна, а репродуктивни капацитет ће се смањити. У критичном случају, може се замислити да се роди толико инсеката да поједу све зрно пре него што имају времена да се размноже, а популација умире. Модел који узима у обзир овај ефекат ограниченог приступа храни први је предложио Верхулст 1838. У овом моделу стопа раста није константна, већ зависи од стања становништва:

Однос између стопе раста а и Ни треба да има следеће својство: ако се популација повећава, стопа раста треба да се смањи јер је приступ храни отежан. Наравно, постоји много функција са овим својством: то су функције одозго надоле. Верхулст је предложио следећи однос:

где а>0 и константа К>0 карактеришу ресурсе хране и називају се капацитетом животне средине. Како промена К утиче на стопу раста становништва? Ако се К повећава, Ни/К се смањује. Заузврат, то доводи до чињенице да 1-Ни/К расте, што значи да расте. То значи да се стопа раста повећава, а становништво брже расте. Дакле, хајде да модификујемо претходни модел (1) претпоставком да се стопа раста мења као у једначини (3). Тада добијамо једначину

Ова једначина се може написати као рекурзивна једначина

где ки = Ни / К и ки + 1 = Ни + 1 / К означавају рескалиране популације у времену и иу времену и + 1. Једначина (5) се назива логистичка једначина.

Може се чинити да је са тако малом модификацијом наш модел лако анализирати. Хајде да проверимо. Размотримо једначину (5) за параметар а = 0.5 почевши од почетне популације к0 = 0.45. Секвенционалне вредности популације могу се добити коришћењем рекурзивне једначине (5):

x₁= ак₀(1₀)

x₂= ак₁(1₁)

x₃= ак₂(1₂)

Да бисмо олакшали прорачуне у (6), можемо користити следећи програм (написан је на Питхон-у и може се покренути, између осталог, на платформи Саге. Препоручујемо да прочитате књигу хттп://ицсе.ус.еду .пл/е-боок . ), опонашајући наш модел:

а = КСНУМКС к = 0.45 за и у опсегу (10):      к \у1д а * к * (XNUMX-к)      принт к

Израчунавамо узастопне вредности ки и примећујемо да оне теже нули. Експериментисањем са горњим кодом, такође је лако видети да је то тачно без обзира на почетну вредност к0. То значи да становништво непрестано умире.

У другој фази анализе повећавамо вредност параметра а на било коју вредност у опсегу ае (1,3). Испоставља се да тада низ ки иде на одређени износ к * > 0. Тумачећи ово са становишта екологије, можемо рећи да је величина популације фиксирана на одређеном нивоу, који се не мења од сезоне до сезоне. . Вреди напоменути да вредност к * не зависи од почетног стања к0. Ово је ефекат тежње екосистема ка стабилизацији – популација прилагођава своју величину способности да се прехрани. Математички се каже да систем тежи стабилној фиксној тачки, тј. задовољавајући једнакост к = ф(к) (то значи да је у следећем тренутку стање исто као у претходном тренутку). Са Саге-ом, ову еволуцију можемо да визуелизујемо графички тако што ћемо приказати популацију током времена.

Овакав стабилизацијски ефекат истраживачи су очекивали, а логистичка једначина (5) не би привукла велику пажњу да није било изненађења. Испоставило се да се за одређене вредности параметра модел (5) понаша на непредвидив начин. Прво, постоје периодична и мултипериодична стања. Друго, са сваким временским кораком, становништво се мења неравномерно, као насумичним кретањем. Треће, постоји велика осетљивост на почетне услове: два готово неразлучива почетна стања доводе до потпуно различите еволуције становништва. Све ове карактеристике су карактеристичне за понашање које подсећа на потпуно случајно кретање и назива се детерминистички хаос.

Хајде да истражимо ову некретнину!

Прво, поставимо вредност параметра а = 3.2 и погледамо еволуцију. Може изгледати изненађујуће да овај пут популација достиже не једну вредност, већ две, које се јављају узастопно сваке друге сезоне. Међутим, показало се да проблемима ту није крај. Са а = 4, систем више није предвидљив. Погледајмо слику (2) или ћемо сами генерисати низ бројева помоћу рачунара. Чини се да су резултати чисто насумични и прилично различити за мало различите почетне популације. Међутим, пажљив читалац мора да приговори. Како систем описан детерминистичком једначином1, чак и врло једноставан, може да се понаша непредвидиво? Па можда.

Карактеристика овог система је његова изузетна осетљивост на почетне услове. Довољно је почети са два почетна услова која се разликују за милионити део и у само неколико корака добићемо потпуно различите популационе вредности. Хајде да проверимо на рачунару:

а = 4.0

к = 0.123 и = 0.123 + 0.000001 ПЦЦ = [] за и у опсегу (25): к = а*к*(1-к) и = а*и*(1-и) штампати к, и

Ево једноставног модела детерминистичке еволуције. Али овај детерминизам је варљив, то је само математички детерминизам. Са практичне тачке гледишта, систем се понаша непредвидиво јер никада не можемо математички тачно поставити почетне услове. У ствари, све је одређено са одређеном тачношћу: сваки мерни инструмент има одређену тачност, а то може изазвати практичну непредвидљивост у детерминистичким системима који имају својство хаоса. Пример су модели временске прогнозе, који увек показују својство хаоса. Због тога су дугорочне временске прогнозе тако лоше.

Анализа хаотичних система је изузетно тешка. Међутим, можемо прилично лако да откључамо многе мистерије хаоса користећи компјутерске симулације. Нацртајмо такозвани дијаграм бифуркације, на који ћемо поставити вредности параметра а дуж осе апсцисе, а стабилне фиксне тачке логистичког мапирања дуж осе ордината. Добијамо стабилне тачке симулацијом великог броја система истовремено и исцртавањем вредности након многих корака прорачуна. Као што можете претпоставити, ово захтева много калкулација. Покушајмо да „пажљиво“ обрадимо следеће вредности:

импорт нумпи као нп Нк = 300 На = 500 х = нп.линспаце (0,1, Нк) х = х + нп.нуле ((На, Нк)) х = нп.транспосе (х) а = нп.линспаце (1,4, На) а=а+нп.нуле((Нк,На)) за и у опсегу (100): к=а*к*(1-к) пт = [а_, к_] за а_, к_ ц зип(а.флаттен(),к.флаттен())] тачка (пт, величина = 1, величина слике = (7,5))

Требало би да добијемо нешто слично слици (3). Како протумачити овај цртеж? На пример, са вредношћу параметра а = 3.3, имамо 2 стабилне фиксне тачке (величина популације је иста сваке друге сезоне). Међутим, за параметар а = 3.5 имамо 4 константне тачке (сваке четврте сезоне популација има исти број), а за параметар а = 3.56 имамо 8 константних поена (сваке осме сезоне популација има исти број). Али за параметар а≈3.57, имамо бесконачно много фиксних тачака (величина популације се никада не понавља и мења на непредвидиве начине). Међутим, помоћу компјутерског програма можемо променити опсег параметра а и истражити бесконачну геометријску структуру овог дијаграма сопственим рукама.

Ово је само врх леденог брега. О овој једначини написано је на хиљаде научних радова, али она и даље крије своје тајне. Уз помоћ компјутерске симулације, можете, чак и не прибегавајући вишој математици, играти пионира у свету нелинеарне динамике. Позивамо вас да прочитате онлајн верзију која садржи детаље о многим интересантним својствима логистичке једначине и занимљиве начине да их визуелизујете.

¹ Детерминистички закон је закон у коме је будућност јединствено одређена почетним стањем. Антоним је вероватноћан закон. ² У математици, "дискретно" значи добијање вредности из одређеног пребројивог скупа. Супротно је „континуирано“.