Зашто не поделимо са нулом?

Читаоци се могу запитати зашто посвећујем цео чланак тако баналном питању? Разлог је запањујући број ученика (!) који лежерно изводе операцију под именом. И не само студенти. Понекад ухватим и учитеље. Шта ће ученици таквих наставника моћи да раде из математике? Непосредан повод за писање овог текста био је разговор са учитељицом којој дељење са нулом није представљало проблем...

Са нулом, да, осим што нема никакве муке, јер не треба да је користимо у свакодневном животу. Не идемо у куповину без јаја. „У соби је једна особа“ звучи некако природно, а „нула људи“ звучи вештачки. Лингвисти кажу да је нула изван језичког система.

Можемо и без нуле на банковним рачунима: само користите - као на термометру - црвену и плаву за позитивне и негативне вредности (имајте на уму да је за температуру природно користити црвену за позитивне бројеве, а за банковне рачуне то је обрнуто, јер би задужење требало да изазове упозорење, па се црвено препоручује).

Укључивањем нуле као природног броја дотичемо се проблема диференцијације Кардинални бројеви od домаћинство. У року од 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

снага броја је иста као и број места на коме стоји. Иначе, већ је у низу 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....

Број појединачних скупова је на другом месту, број скупова са два елемента на трећем и тако даље. Морамо да објаснимо зашто, на пример, не нумеришемо места спортиста на такмичењима од нуле. Тада би првопласирани добијао сребрну медаљу (злато је припало нултопласираном) и тако даље. Донекле сличан поступак је коришћен у фудбалу – не знам да ли читаоци знају да „лига један“ значи „ пратећи најбоље." “, а нулта лига је позвана да постане “висока лига”.

Понекад чујемо аргумент да треба почети од нуле, јер је то згодно за ИТ људе. Настављајући ова разматрања, дефиницију километра треба променити – требало би да буде 1024 м, јер је ово број бајтова у килобајту (позваћу се на виц познат компјутерским научницима: „Која је разлика између бруцоша и студент информатике и студент пете године овог факултета? да је килобајт 1000 килобајта, последњи – да је километар 1024 метра“)!

Друга тачка гледишта, коју већ треба схватити озбиљно, је ово: увек меримо од нуле! Довољно је погледати било коју вагу на лењиру, на кућној ваги, чак и на сату. Пошто меримо од нуле, а бројање се може схватити као мерење бездимензионалном јединицом, онда треба рачунати од нуле.

То је једноставна ствар, али...

Оставимо опште резоновање и вратимо се на дељење са нулом. Ствар је проста и била би једноставна да није... па шта? Хајде да размислимо и покушамо. Колико може бити - један подељен са нулом? Да видимо: 1/0 = к. Помножите обе стране са имениоцем леве стране.

Добијамо 1=0. Нешто није у реду! Шта се десило? Ах погоди! Претпоставка да постоји количник јединице и нуле доводи до контрадикције. А ако се једно не може поделити са нулом, онда може други број. Ако, Читаоче, слегнеш раменима и питаш се зашто аутор (односно ја) пише о таквим флоскулама, онда... баш ми је драго!

Формула 0/0 = 0 могла би се тврдоглаво бранити, али је у супротности са правилом да је резултат дељења броја сам по себи једнак један. Апсолутно, али сасвим другачији су такви симболи као што су 0/0, °/° и слично у рачунању. Они не значе било који број, већ су симболичне ознаке за одређене низове одређених типова.

У једној књизи о електротехници нашао сам занимљиво поређење: дељење са нулом једнако је опасно као и струја високог напона. Ово је нормално: Охмов закон каже да је однос напона и отпора једнак струји: В = У / Р. Да је отпор нула, теоретски бесконачна струја би текла кроз проводник, сагоревајући све могуће проводнике.

Једном сам написао песму о опасностима дељења са нулом за сваки дан у недељи. Сећам се да је најдраматичнији дан био четвртак, али штета за сав мој рад у овој области.

Када нешто поделите са нулом

Веома рано у понедељак

Недеља шта се управо догодило

Већ сте несрећно пропали.

Када је уторак поподне

Стављате нулу у именилац

Рећи ћу ти онда, грешиш

Лош математичар!

Када кроз нулу, кроз перверзију,

Желим да се растанемо у среду

Упашћеш у много невоља

Имаш сена и воде у глави!

Са нама је био и извесни Бартек.

Био је у супротности са правилима.

У четвртак је дељив са нулом.

Он више није међу нама!

Ако те обузме чудна жеља

Подели са нулом у петак

Бићу искрен, бићу искрен:

Лош почетак овог викенда.

Кад је нула, негде у суботу

Разделник ће бити ваш (не подебљан)

Клекни испод црквене ограде.

Ово је васкрсење ваше.

Хоћеш нулу испод цртице,

Направите празник у недељу

Понеси креду, црну таблу.

Напиши: није дељиво са нулом!

Нула је повезана са празнином и ништавилом. Заиста, он је дошао до математике као величине која, када се дода било којој, не мења је: к + 0 = к. Али сада се нула појављује у неколико других вредности, пре свега као почетак скале. Ако изван прозора нема ни позитивне температуре ни мраза, онда ... ово је нула, што не значи да уопште нема температуре. Споменик нулте класе није онај који је дуго рушен и једноставно не постоји. Напротив, то је нешто као Вавел, Ајфелова кула и Кип слободе.

Па, важност нуле у позиционом систему тешко се може преценити. Да ли знаш, Читаоче, колико нула има Бил Гејтс на свом банковном рачуну? Не знам, али бих пола. Очигледно, Наполеон Бонапарта је приметио да су људи као нуле: добијају смисао кроз положај. У филму Анџеја Вајде Ас тхе Иеарс, Ас тхе Даис, страствени уметник Јерзи експлодира: „Филистинац је нула, нихил, ништа, ништа, нихил, нула“. Али нула може бити добра: „нулто одступање од норме“ значи да све иде добро, и наставите тако!

Вратимо се математици. Нула се може некажњено сабирати, одузимати и множити. „Угојила сам се нула килограма“, каже Мања Ањи. „А ово је интересантно, јер сам исто смршала“, одговара Ања. Па хајде да једемо шест нула порција сладоледа шест пута, неће нам шкодити.

Не можемо делити са нулом, али можемо поделити са нулом. Тањир нула кнедли лако се може поделити онима који чекају храну. Колико ће свако добити?

Нула није позитивна или негативна. Ово и број непозитивнаи ненегативни. Задовољава неједнакости к≥0 и к≤0. Контрадикција „нешто позитивно“ није „нешто негативно“, већ „нешто негативно или једнако нули“. Математичари ће, супротно правилима језика, увек рећи да је нешто „једнако нули“, а не „нула“. Да бисмо оправдали ову праксу, имамо: ако читамо формулу х = 0 „х је нула”, онда х = 1 читамо „х је једнако један”, што би се могло прогутати, али шта је са „х = 1534267”? Такође не можете доделити нумеричку вредност знаку 0⁰нити подићи нулу на негативан степен. С друге стране, можете по вољи искоријенити нулу... и резултат ће увек бити нула. 

Експоненцијална функција и = а^x, позитивна база а, никада не постаје нула. Из тога следи да не постоји нулти логаритам. Заиста, логаритам од а према основици б је експонент на који се база мора подићи да би се добио логаритам а. За а = 0, такав индикатор не постоји, а нула не може бити основа логаритма. Међутим, нула у „имениоцу” Њутновог симбола је нешто друго. Претпостављамо да ове конвенције не доводе до контрадикције.

лажни докази

Дељење нулом је уобичајена тема за лажне доказе, а дешава се чак и искусним математичарима. Дозволите ми да вам дам два моја омиљена примера. Први је алгебарски. „Доказаћу“ да су сви бројеви једнаки. Претпоставимо да постоје два броја која нису једнака. Дакле, један од њих је већи од другог, нека је а > б. Претпоставимо да је ц њихова разлика

ц \уXNUMXд а - б. Дакле, имамо а - б = ц, одакле је а = б + ц.

Оба дела последњег помножимо са а - б:

a² – аб = аб + ац – б2 – бц.

Преводим ак на леву страну, наравно да се сећам промене знака:

a² – аб – ац = аб – б2 – бц.

Искључујем уобичајене факторе:

А (а-б-ц) \уXNUMXд б (а-б-ц),

Делим и имам оно што сам желео:

а = б.

И заправо још чудније, јер сам претпоставио да је а > б, а добио сам да је а = б. Ако је у горњем примеру "превару" лако препознати, онда у геометријском доказу испод то није тако лако. Доказаћу да ... трапез не постоји. Фигура која се обично назива трапез не постоји.

Али претпоставимо прво да постоји таква ствар као што је трапез (АБЦД на слици испод). Има две паралелне стране („базе“). Испружимо ове основе, као што је приказано на слици, тако да добијемо паралелограм. Његове дијагонале деле другу дијагоналу трапеза на сегменте чије су дужине означене к, и, з, као у слика 1. Из сличности одговарајућих троуглова добијамо пропорције:

где дефинишемо:

Oraz

где дефинишемо:

Одузмите странице једнакости означене звездицама:

 Скраћивањем обе стране за к − з добијамо – а/б = 1, што значи да је а + б = 0. Али бројеви а, б су дужине основа трапеза. Ако је њихов збир нула, онда су и они нула. То значи да фигура попут трапеза не може постојати! А пошто су правоугаоници, ромбови и квадрати и трапези, онда, драги читаоче, нема ни ромбова, правоугаоника и квадрата...

Гуесс Гуесс

Дељење информација је најзанимљивија и најизазовнија од четири основне активности. Овде се први пут сусрећемо са феноменом тако уобичајеним у одраслом добу: „погоди одговор, а затим провери да ли си погодио”. Ово је веома прикладно изразио Даниел К. Деннетт („Како правити грешке?”, у Како је – научни водич кроз универзум, ЦиС, Варшава, 1997):

Овај метод „погађања“ не омета наш одрасли живот – можда зато што га рано учимо и погађање није тешко. Идеолошки, иста појава се јавља, на пример, у математичкој (потпуној) индукцији. На истом месту „погађамо“ формулу, а затим проверавамо да ли је наша претпоставка тачна. Ученици увек питају: „Како смо знали образац? Како се може извадити?" Када ми студенти поставе ово питање, њихово питање претворим у шалу: „Знам ово јер сам професионалац, јер сам плаћен да знам“. Ученицима у школи се може одговорити у истом стилу, само озбиљније.

Вежбајте. Имајте на уму да сабирање и писмено множење почињемо најнижом јединицом, а дељење највишом јединицом.

Комбинација две идеје

Наставници математике су увек истицали да је оно што називамо раздвајањем одраслих спој две концептуално различите идеје: Корпус i раздвајање.

Први (Корпус) се јавља у задацима где је архетип:

Подели-подели То су задаци као што су:

? (Задржали смо оригинални стил овог проблема, преузет из приручника Јулијана Згозалевича објављеног у Кракову 1892. године – злот је ренски злот, валута која је била у оптицају у Аустроугарској империји до почетка КСНУМКС века).

Сада размотрите два проблема са најстарији уџбеник математике на пољском, отац Томасз Цлос (1538). Да ли је то дивизија или купе? Решите то онако како би школарци у КСНУМКС веку требали:

(Превод са пољског на пољски: У бурету је кварт и четири лонца. Лонац је четири литре. Неко је купио 20 буради вина за 50 зл за трговину. Царина и порез (акциза?) ће бити 8 зл. Колико да продати кварт да би зарадио 8 зл?)

Спорт, физика, конгруенција

Понекад у спорту морате нешто поделити са нулом (однос голова). Па, судије се некако носе са тим. Међутим, у апстрактној алгебри они су на дневном реду. величине које нису нулачији је квадрат нула. То се чак може једноставно објаснити.

Размотримо функцију Ф која повезује тачку (и, 0) са тачком у равни (к, и). Шта је Ф², односно двоструко извршење Ф? Нулта функција - свака тачка има слику (0,0).

Коначно, величине различите од нуле чији је квадрат 0 готово су свакодневни хлеб за физичаре, а бројеви облика а + бε, где је ε = 0, али ε² = 0, називају математичари двоструки бројеви. Јављају се у математичкој анализи и у диференцијалној геометрији.

На крају крајева, постоји нешто у аритметици што има дељење нулом барем у имену. Долази од конгруенција. Нека З означава скуп целих бројева. Дељење скупа З са п значи да сваки број (цео број) изједначавамо са неким другим, наиме, са онима којима је њихова разлика дељива. Дакле, када имамо пет врста бројева који одговарају бројевима 0, 1, 2, 3, 4 - могући остаци када се поделе са 5. Формула је написана овако:

мод када је разлика вишеструка.

За = 2 имамо само два броја: 0 и 1. Дељење целих бројева на две такве класе је еквивалентно подели на парне и непарне. Хајде да га сада заменимо. Разлика је увек дељива са 1 (било који цео број је дељив са 1). Да ли је могуће узети =0? Хајде да покушамо: када је разлика два броја вишеструка од нуле? Тек када су ова два броја једнака. Дакле, дељење скупа целих бројева са нулом има смисла, али није занимљиво: ништа се не дешава. Међутим, треба нагласити да се не ради о подели бројева у смислу познатом из основне школе.

Такве радње су једноставно забрањене, као и дуга и широка математика.

Пиринач. 2. Идентификација бројева помоћу поређења

(дрво 5 и дрво 2)