Коронавирус и математичко образовање – Делимично наручене збирке

Вирус који нас је погодио покреће брзу реформу образовања. посебно на вишим нивоима образовања. На ову тему можете написати дужи есеј, сигурно ће бити низ докторских дисертација о методологији учења на даљину. Са одређене тачке гледишта, ово је повратак коренима и заборављеним навикама самоучења. Тако је било, на пример, у Кремењечкој гимназији (у Кремењецу, сада у Украјини, која је постојала 1805-31, вегетирала до 1914, а свој процват доживела је 1922-1939). Ученици су ту учили сами – тек након што су научили долазили су наставници са исправкама, завршним појашњењима, помоћи на тешким местима итд. е. Када сам постао студент, говорили су и да сами стичемо знања, да само наручујемо и шаљемо наставу на факултет. Али тада је то била само теорија...

У пролеће 2020. нисам једини који је открио да се лекције (укључујући предавања, вежбе и сл.) могу веома ефикасно изводити на даљину (Гоогле Меет, Мицрософт Теамс, итд.), по цену великог рада на страни наставника и само жеља да се „образује“ с друге стране; али и са неком удобношћу: седим код куће, у својој столици, а на традиционалним предавањима студенти су често радили и нешто друго. Ефекат оваквог тренинга може бити чак и бољи него код традиционалног, из средњег века, система час-час. Шта ће остати од њега када вирус оде у пакао? Мислим… доста. Али видећемо.

Данас ћу говорити о делимично нарученим сетовима. То је једноставно. Пошто се бинарна релација у непразном скупу Кс назива релација делимичног реда када постоји

(Тадеуш Котарбински, 1886-1981, филозоф,

Председник Пољске академије наука 1957–1962).

1. Рефлексивно, тј. за сваки ∈ постоји ",
2. Пролазник, тј. ако ", и ", онда ",
3. Полуасиметрична, тј («∧«)→ =

Стринг је скуп са следећим својством: за било која два елемента, овај скуп је или „или и“. Антиланац је...

Стани, стани! Може ли се нешто од овога разумети? Наравно да јесте. Али да ли је неко од Читалаца (знајући другачије) већ разумео шта је овде?

Не мислим! А ово је канон наставе математике. Такође у школи. Прво пристојна, строга дефиниција, а онда ће они који нису заспали од досаде сигурно нешто схватити. Ову методу су наметнули „велики” наставници математике. Мора бити опрезан и строг. Истина је да тако на крају треба да буде. Математика мора бити егзактна наука (такође видети: ).

Морам признати да сам на универзитету на којем радим након што сам отишао у пензију са Варшавског универзитета, и предавао толико година. Само у њему била је озлоглашена кофа хладне воде (нека тако и остане: кафа је била потребна!). Одједном је висока апстракција постала лагана и пријатна. Поставите пажњу: лако не значи лако. Лајт боксер такође има тешкоће.

Осмехујем се својим сећањима. Основе математике предавао ми је тадашњи декан катедре, првокласни математичар који је управо стигао са дугог боравка у Сједињеним Државама, што је у то време било нешто изванредно само по себи. Мислим да је била мало снобовска када је мало заборавила пољски. Злоупотребила је старо пољско „шта“, „дакле“, „азалеја“ и сковала термин: „полуасиметрична веза“. Волим да га користим, заиста је тачан. Волим. Али ја то не захтевам од ученика. Ово се обично назива "ниска антисиметрија". Десет прелепих.

Давно, јер је седамдесетих година (прошлог века) дошло до велике, радосне реформе наставе математике. То се поклопило са почетком кратког периода владавине Едуарда Гиерека - извесног отварања наше земље према свету. „Деца се могу подучавати и вишој математици“, узвикивали су Велики Учитељи. За децу је састављен резиме универзитетског предавања „Основи математике“. То је био тренд не само у Пољској, већ и широм Европе. Решавање једначине није било довољно, требало је објаснити сваки детаљ. Да не би било неосновано, сваки од Читалаца може да реши систем једначина:

али ученици су морали да оправдају сваки корак, да се позивају на релевантне изјаве итд. Ово је био класичан вишак форме над садржајем. Лако ми је сада да критикујем. И ја сам својевремено био присталица оваквог приступа. Узбудљиво је... за младе људе који су страствени за математику. Ово је, наравно, био (и, пажње ради, ја).

Али доста дигресије, да пређемо на посао: предавање које је „теоретски” било намењено студентима друге године Политехнике и било би суво као кокосове пахуљице да није било ње. мало претерујем...

Добро јутро за тебе. Данашња тема је делимично чишћење. Не, ово није наговештај немарног чишћења. Најбоље поређење би било да размислите шта је боље: парадајз супа или крем колач. Одговор је јасан: зависно од чега. За десерт - колачићи, а за хранљиво јело: супа.

У математици се бавимо бројевима. Они су поређани: они су већи и мањи, али од два различита броја, један је увек мањи, што значи да је други већи. Они су поређани по реду, као слова у азбуци. У разредном дневнику редослед може бити следећи: Адамцхик, Багинскаиа, Кхоиницски, Дерковски, Елгет, Филипов, Гзхецхник, Кхолнитски (они су пријатељи и другови из мог разреда!). Такође не сумњамо да је Матусјак „Матушељански” Матушевски „Матисјак. Симбол за "двоструку неједнакост" има значење "пре".

У мом путничком клубу покушавамо да спискове направимо по абецедном реду, али по имену, на пример, Алина Вронска „Варвара Качарска“, Цезар Бушиц, итд. У званичним евиденцијама редослед би био обрнут. Математичари називају азбучни ред лексикографским (лексикон је мање-више као речник). С друге стране, такав редослед, у коме у имену које се састоји од два дела (Михал Шурек, Алина Вронска, Станислав Смажински) прво гледамо други део, представља антилексикографски поредак за математичаре. Дуги наслови, али веома једноставан садржај.

1. Линеарни редослед: станице и стајалишта на прузи Хабовка-Закопане од Подхалеа, изграђене 1899. године (дешифровање скраћеница препуштам читаоцу).

Сви такви налози се зову линијски налози. Наручујемо редом: прво, друго, треће. Све је у реду, од прве до последње тачке. Нема увек смисла. Уосталом, књиге у библиотеци сређујемо не овако, већ по одељцима. Само унутар одељења распоређујемо линеарно (обично по азбучном реду).

2. Линеарни редослед: приликом покретања мотора аутомобила вршимо радње у доследном редоследу.

Код већих пројеката, посебно у тимском раду, више немамо линеарни поредак. Хајде да погледамо шипак. 3. Желимо да изградимо мали хотел. Већ имамо новац (ћелија 0). Израђујемо дозволе, прикупљамо материјал, почињемо градњу, а истовремено водимо рекламну кампању, тражимо запослене и тако даље и тако даље. Када стигнемо до "10", први гости могу да се пријаве (пример из прича господина Домбровског и њиховог малог хотела у предграђу Кракова). Имамо нелинеарни поредак – неке ствари могу да се дешавају паралелно.

У економији ћете научити о концепту критичног пута. Ово је скуп радњи које се морају изводити узастопно (а то се у математици зове ланац, више о томе за тренутак), а које одузимају највише времена. Смањење времена изградње је реорганизација критичног пута. Али више о томе у другим предавањима (подсећам да читам „универзитетско предавање“). Фокусирамо се на математику.

Дијаграми попут слике 3 називају се Хасе дијаграми (Хелмут Хасе, немачки математичар, 1898–1979). Сваки сложени напор мора бити планиран на овај начин. Видимо низ акција: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Математичари их зову низови. Цела идеја се састоји од четири ланца. Насупрот томе, групе активности 1-2-3-4, 5-6-7 и 8-9 су антиланци. Ево како се зову. Чињеница је да у одређеној групи ниједна акција не зависи од претходне.

4. Ово је такође Хасеов дијаграм.

појдем слика 4. Шта је импресивно? Али то би могла бити карта метроа у неком граду! Подземне пруге су увек груписане у редове - не прелазе од једне до друге. Линије су засебне линије. У граду Фиг. 4 је баке линија (запамтите то баке написано је „болдем” – на пољском се зове полудебео).

На овом дијаграму (слика 4) налази се кратки жути АБФ, АЦФПС са шест станица, зелени АДГЛ, плави ДГМРТ и најдужи црвени. Математичар ће рећи: овај Хасеов дијаграм има баке ланцима. На црвеној је линији седам станица: АЕИНРУВ. Шта је са антиланцима? Ту су они седам. Читалац је већ приметио да сам дупло подвукао реч седам.

Антицхаин ово је такав скуп станица да је немогуће доћи од једне до друге без преседања. Када се мало "разумемо", видећемо следеће антиланце: А, БЦЛТВ, ДЕ, ФГХЈ, КМН, ПУ, СР. Проверите, на пример, да није могуће путовати са било које БЦЛТВ станице до друге БЦТЛВ без преседања, тачније: без потребе да се вратите на станицу приказану испод. Колико има антиланаца? Седам. Која је величина највећа? Пеците (опет подебљано).

Можете замислити, студенти, да подударност ових бројева није случајна. Ово. Ово је открио и доказао (тј. увек тако) 1950. године Роберт Палмер Дилворт (1914–1993, амерички математичар). Број редова потребних за покривање целог скупа једнак је величини највећег антиланца, и обрнуто: број антиланаца је једнак дужини најдужег антиланца. То је увек случај у делимично уређеном скупу, тј. онај који се може визуелизовати. Хасего дијаграм. Ово није сасвим строга и исправна дефиниција. То је оно што математичари називају „радном дефиницијом“. Ово се донекле разликује од "радне дефиниције". Ово је наговештај о томе како разумети делимично уређене скупове. Ово је важан део сваке обуке: погледајте како функционише.

Енглеска скраћеница је - ова реч звучи лепо у словенским језицима, помало као чичак. Имајте на уму да је чичак такође разгранат.

Веома лепо, али коме треба? Вама, драги студенти, потребан је за полагање испита, а ово је вероватно довољно добар разлог да га учите. Слушам, каква питања? Слушам, господине испод прозора. Ох, питање је да ли ће ово икада бити од користи Господу у твом животу? Можда не, али за неког паметнијег од вас, сигурно... Можда за анализу критичног пута у сложеном економском пројекту?

Овај текст пишем половином јуна, на Варшавском универзитету трају избори за ректора. Прочитао сам неколико коментара корисника интернета. Постоји изненађујућа количина мржње (или „мржње“) према „образованим људима“. Неко је отворено написао да људи са факултетом знају мање од оних са факултетом. Наравно, нећу улазити у дискусију. Тужан сам само што се у Пољској Народној Републици враћа устаљено мишљење да се чекићем и длетом све може. Враћам се математици.

Диллвортова теорема има неколико занимљивих употреба. Једна од њих је позната као теорема брака.шипак. 6). 

Постоји група жена (пре девојака) и нешто већа група мушкараца. Свака девојка размишља овако: „Могла бих да се удам за овог, за другог, али никада у животу за трећег. И тако даље, свако има своје преференције. Цртамо дијаграм, доводећи до сваког од њих стрелицу од типа кога не одбацује као кандидата за олтар. П: Могу ли се парови упарити тако да сваки пронађе мужа којег прихвата?

Теорема Филипа Хола, каже да се то може учинити – под одређеним условима, о којима нећу овде да говорим (онда на следећем предавању, студенти, молим). Имајте на уму, међутим, да се мушко задовољство овде уопште не помиње. Као што знате, жене су те које бирају нас, а не обрнуто, како се нама чини (подсећам да сам ја аутор, а не аутор).

Нека озбиљна математика. Како Холова теорема следи из Дилворта? Врло је једноставно. Погледајмо поново слику 6. Ланци тамо су веома кратки: имају дужину од 2 (крећу у правцу). Сет човечуљака је антиланац (управо зато што су стрелице само ка). Тако можете покрити целу колекцију са онолико антиланаца колико има мушкараца. Дакле, свака жена ће имати стрелу. Што значи да може изгледати као тип којег узима!!!

Чекај, неко пита, је ли то све? Да ли је то све апликација? Хормони ће се некако слагати и зашто математика? Прво, ово није цела апликација, већ само једна од велике серије. Погледајмо једну од њих. Нека (слика 6) не подразумевају представнике лепшег пола, већ прозаичне купце, а то су брендови, на пример, аутомобили, машине за прање веша, производи за мршављење, понуде туристичких агенција итд. Сваки купац има брендове које прихвата и одбија. Може ли се нешто учинити да се свима нешто прода и како? Ту се не завршавају само шале, већ и знање аутора чланка на ову тему. Знам само да се анализа заснива на прилично сложеној математици.

Настава математике у школи је подучавање алгоритама. Ово је важан део учења. Али полако идемо ка подучавању не толико математике колико математичке методе. Данашње предавање је било само о овоме: говоримо о апстрактним менталним конструкцијама, размишљамо о свакодневном животу. Реч је о ланцима и антиланцима у скуповима са инверзним, транзитивним и другим односима које користимо у моделима продавац-купац. Рачунар ће урадити све прорачуне уместо нас. Још неће стварати математичке моделе. Ми и даље побеђујемо својим размишљањем. У сваком случају, надамо се што је дуже могуће!